9. (D) Um fio semicircular fino, de raio R , encontra-se no plano z = 0 , com seu centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas e contido nos primeiro e segundo quadrantes, como mostrado na figura abaixo. Ele possui uma densidade linear de carga elétrica constante e positiva λ

(b) Deduza, em detalhe, uma expressão para o vetor campo elétrico resultante no ponto P acima mencionado.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos uma linha de carga em forma de semicircunferência situada no plano z = 0 e em y ≥ 0 . Essa linha de carga possui um raio R da origem do sistema e uma densidade linear de carga λ positiva.

Dessa forma, queremos obter o vetor campo elétrico no ponto P = 0,0 , z

Tem ideia de como fazer isso? 😬

Dado o vetor

E → = E x i → + E y j → + E z k →

Já sabemos que a componente x do vetor E → é nulo, ou seja, E x = 0 .

Agora para obter as componentes E y e E z temos que fazer uma análise dos vetores de cada contribuição infinitesimal do arco.

Para E y , temos que o vetor formado possui um ângulo em relação a x , que vamos chamar de ϕ , e outro ângulo em relação a z , que vamos chamar de θ , assim, podemos escrever :

d E y = - d E sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ

Já para E z vamos ter:

d E z = d E cos ⁡ θ

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 2

Vamos obter o vetor resultante em y primeiro:

d E y = - d E sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ

Se E = k q r 2 , então para cada contribuição d q da linha de carga temos:

d E = k r 2 d q

E pela lei dos senos, temos:

sin ⁡ θ = R r

Substituindo em d E y :

d E y = - k r 2 d q R r sin ⁡ ϕ

Fazendo r = R 2 + z 2 :

d E y = - k R d q R 2 + z 2 3 / 2 sin ⁡ ϕ

Substituindo d q por uma variação do ângulo ϕ e substituindo em d E y , temos:

λ = d q d l = d q R d ϕ → d q = λ R d ϕ

d E y = - k R λ R d ϕ R 2 + z 2 3 / 2 sin ⁡ ϕ

Integrando nos dois lados:

∫ d E y = ∫ - k R λ R d ϕ R 2 + z 2 3 / 2 sin ⁡ ϕ

E y = - k R λ R R 2 + z 2 3 / 2 ∫ sin ⁡ ϕ d ϕ

O ângulo que E → faz com x varia de 0 a π , portanto é o valor que temos que substituir na integral:

E y = - k R λ R R 2 + z 2 3 / 2 ∫ 0 π sin ⁡ ϕ d ϕ

E y = - k λ R 2 R 2 + z 2 3 2 - cos ⁡ ϕ 0 π

E y = - k λ R 2 R 2 + z 2 3 2 - - 1 - - 1

E y = - 2 k λ R 2 R 2 + z 2 3 2

Por último, temos λ = Q π R :

E y = - 2 k Q π R R 2 R 2 + z 2 3 2

E y = - 2 k Q R π R 2 + z 2 3 2

Complicado, né? 👀

Passo 3

Agora vamos obter a componente E z do vetor campo elétrico:

d E z = d E cos ⁡ θ

Substituindo d E = k r 2 d q novamente e dessa vez fazendo cos ⁡ θ = z r pela lei dos cossenos, temos:

d E z = k r 2 d q z r

d E z = k z r 3 d q

Substituindo r = R 2 + z 2 :

d E z = k z R 2 + z 2 3 2 d q

Novamente vamos substituir d q por λ R d ϕ , assim como fazemos no passo anterior:

d E z = k z R 2 + z 2 3 2 λ R d ϕ

d E z = k z λ R R 2 + z 2 3 2 d ϕ

Integrando nos dois lados com ϕ variando entre 0 e π :

∫ d E z = ∫ 0 π k z λ R R 2 + z 2 3 2 d ϕ

E z = k z λ R R 2 + z 2 3 2 ∫ 0 π d ϕ

E z = k z λ R π R 2 + z 2 3 2

Queremos um resultado em função da carga total Q , ou seja, fazemos λ = Q π R

E z = k z Q π R R π R 2 + z 2 3 2

E z = k z Q R 2 + z 2 3 2

E finalmente, obtemos o vetor campo elétrico dado por

E → 0,0 , z = 0 i → - 2 k Q R π R 2 + z 2 3 2 j → + k z Q R 2 + z 2 3 2 k →

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

E → 0,0 , z = 0 i → - 2 k Q R π R 2 + z 2 3 2 j → + k z Q R 2 + z 2 3 2 k →

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