12. (M) Considere o dipolo elétrico mostrado na figura abaixo.

(c) Obtenha expressões assintóticas para os dois resultados acima nos limites y ≫ a e x ≫ a . Interprete os resultados.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos um dipolo formado por uma carga q e outra carga - q igualmente espaçados em relação ao eixo y .

Dessa forma, queremos obter a expressão que descreve os campos elétricos em um ponto P em y ≫ a e em x ≫ a .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Anteriormente vimos que o campo elétrico no caso 1 em que o ponto P estava sob o eixo y tínhamos

E → y = - 2 k q cos ⁡ θ a 2 + y 2 i →

Já no caso 2, quando o ponto P estava sob o eixo x e o campo elétrico é dado por

E → x = 4 a x k q x - a 2 x + a 2 i →

Para auxiliar na nossa simplificação, foi dito que para x ≫ 1 , 1 + x n ≈ 1 + n x .

Bora começar! 😐

Passo 2

Vamos começar pelo caso 1...

E → y = - 2 k q cos ⁡ θ a 2 + y 2 i →

Se y ≫ a , podemos aproximar a 2 + y 2 como y 2 , ou seja

E → y = - 2 k q cos ⁡ θ y 2 i →

Além disso, fazendo cos ⁡ θ = a a 2 + y 2

E → y = - 2 k q a a 2 + y 2 y 2 i →

E → y = - 2 k q a y 2 y 2 i →

E → y = - 2 k q a y 3 i →

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos analisar o caso 2

E → x = 4 a x k q x - a 2 x + a 2 i →

Nesse caso: para x ≫ 1 , 1 + x n ≈ 1 + n x , ou seja

x - a 2 = 2 x - a

x + a 2 = 2 x + a

Substituindo na equação E → x

E → x = 4 a x k q 2 x - a 2 x + a i →

E → x = 4 a x k q 4 x 2 - a 2 i →

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

E → y = - 2 k q a y 3 i →

E → x = 4 a x k q 4 x 2 - a 2 i →

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