9. (D) Um fio semicircular fino, de raio R , encontra-se no plano z = 0 , com seu centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas e contido nos primeiro e segundo quadrantes, como mostrado na figura abaixo. Ele possui uma densidade linear de carga elétrica constante e positiva λ

(c) Obtenha uma expressão assintótica para o resultado do item anterior no limite em que o ponto P está muito distante do fio, de forma que z ≫ R . Discuta o resultado.

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos uma linha de carga em forma de semicircunferência situada no plano z = 0 e em y ≥ 0 . Essa linha de carga possui um raio R da origem do sistema e uma densidade linear de carga λ positiva.

Dessa forma, queremos analisar o caso em que z ≫ R no ponto P = 0,0 , z .

Tem ideia de como fazer isso? 😬

Anteriormente calculamos o vetor campo elétrico como

E → 0,0 , z = 0 i → - 2 k Q R R 2 + z 2 3 2 j → + k z Q R 2 + z 2 3 2 k →

E nosso objetivo é analisar o que acontece com a expressão se z ≫ R .

Preparado? Bora lá! 😉

Passo 2

Se fizermos z ≫ R nas somas R 2 + z 2 podemos simplificar que é igual a z 2 já que z é dominante em relação a R , ou seja

R 2 + z 2 = z 2

Fazendo essa simplificação na equação E →

E → 0,0 , z = 0 i → - 2 k Q R z 2 3 2 j → + k z Q z 2 3 2 k →

E → 0,0 , z = 0 i → - 2 k Q R z 3 j → + k z Q z 3 k →

Simplificando...

E → 0,0 , z = 0 i → - 2 k Q R z 3 j → + k Q z 2 k →

Na componente em y temos 2 k Q R z 3 , mas se z ≫ R então podemos dizer também que R / z 3 tende a 0

E → 0,0 , z = 0 i → - 2 k Q R z 3 j → + k Q z 2 k →

E → 0,0 , z = 0 i → - 2 k Q 0 j → + k Q z 2 k →

E → 0,0 , z = 0 i → + 0 j → + k Q z 2 k →

Dessa forma, o vetor resultante pode ser aproximado como

E → 0,0 , z = k Q z 2 k →

Ou seja, as dimensões da linha de carga não serão importantes e para o ponto P , a linha de carga se comporta como uma carga pontual já que a equação é exatamente igual a equação do campo de uma carga pontual.

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

E → 0,0 , z = k Q z 2 k →

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