UFRJ – Física 3 – 2020.2 – PF – M.Escolha
. Um anel circular fino, isolante, de raio é posicionado sobre o plano de um sistema de coordenadas com seu centro sobre a origem. Ele encontra-se uniformemente carregado e possui carga total . Uma barra fina, isolante, de comprimento é posicionada sobre o eixo positivo com sua extremidade mais próxima do anel a uma distância da origem. A barra também encontra-se uniformemente carregada e possui carga total . Nessa situação, qual é o módulo da força elétrica que o anel exerce sobre a barra?
Sugestão: Divida a barra em elementos infinitesimais de carga e considere a força que o campo elétrico gerado pelo anel exerce sobre cada elemento.
Dado: O campo elétrico produzido pelo anel em pontos sobre o eixo é dado por:
Escolha uma opção:
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve essa juntos!
Vamos considerar a força que elemento da barra sofre pelo anel, ela pode ser escrita da seguinte forma:
Onde é o campo elétrico do anel sobre a barra e é um elemento de carga da barra.
Esse elemento de carga é dado pela densidade linear de carga da barra vezes um elemento de comprimento , assim:
A densidade linear de carga é dada pela carga total da barra dividida pelo comprimento da barra, assim:
Então a força que cada elemento da barra sofre é dada por:
Então para saber a força total que a barra sofre pelo anel, vamos integrar dos dois lados, onde o lado direto vai variar de (distância do anel até a barra) até (a distância entre o anel e barra mais o comprimento da barra).
Vamos fazer essas contas!
Passo 2
Temos o seguinte:
Para a gente fazer essa integral vamos usar a seguinte substituição:
Os limites de integração ficam:
Então temos o seguinte:
Passo 3
Resolvendo essa integral que chegamos, temos:
Mexendo mais um pouco:
Essa é a força que o anel faz sobre a barra, então nossa alternativa é a letra .