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Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

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Enunciado

UFRJ – Física 3 2020.2 – P1 – Questão 35

R , está centrado na origem e ocupa a porção superior do plano x y , como mostrado na figura abaixo. Ele possui uma densidade linear de carga constante e positiva λ . Considere um elemento infinitesimal de carga d q do semianel na posição definida pelo ângulo polar ϕ , como indicado. Este elemento compreende uma porção de ângulo infinitesimal d ϕ . Considere o ponto P mostrado na figura, localizado no eixo z a uma distância z da origem. Assinale a alternativa que representa a expressão da componente z do campo elétrico infinitesimal produzido por este elemento no ponto P .

Escolha uma:

  1. – k 0 λ R 2 + z 2 3 2 z R   c o s ϕ d ϕ
  2. – k 0 λ R 2 + z 2 3 2 R 2 d ϕ
  3. – k 0 λ R 2 + z 2 3 2 R 2   c o s ϕ d ϕ
  4. – k 0 λ R 2 + z 2 3 2 z R d ϕ
  5. – k 0 λ R 2 + z 2 3 2 z R   s e n ϕ d ϕ
  6. 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar a resolver, saca só!

Quando pegamos apenas um pedaço do semianel, a carga nesse pedacinho é d q = λ d l . A componente z é proporcionao ao cosseno do ângulo com o eixo x . Então temos o seguinte:

c o s θ = R d = R z 2 + R 2

Passo 2

A distância do ponto P até o elemento de fio é:

d 2 = ( z 2 + R 2 )

E o elemento de comprimento d l , em função do ângulo polar é:

d l = R c o s ϕ   d ϕ

Passo 3

Agora vamos começar a juntar todas essas informações:

d E z = d E   . c o s θ = k 0 d q d 2   . c o s θ

E resgatando as informações dos passos anteriores temos:

d E z = k 0 λ d l ( z 2 + R 2 ) . R z 2 + R 2

E por fim substituímos d l e reorganizamos:

d E z = k 0 λ R c o s ϕ R z 2 + R 2 3 / 2

d E z = k o λ R 2 c o s ϕ d ϕ z 2 + R 2 3 / 2

E a direção? É negativa, pois o semianel está carregado positivamente e produz um campo com componente z negativa:

d E z = - k o λ R 2 c o s ϕ d ϕ z 2 + R 2 3 / 2

Beleza?

E analisando as alternativas, a correta é a (c).

Espero ter ajudado!

Resposta

( c )

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