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Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

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Enunciado

Considere um anel circular, fino de raio R , com uma distribuição de carga linear, estacionária, com carga total q . O campo elétrico, devido a tal anel em um ponto de seu eixo perpendicular de simetria, com cota z , definida a partir do centro do anel (conforme a Figura 1), é dado por:

E → x = 0 ,   y = 0 ,   z = k 0 q z z ^ R 2 + z 2 3 2

Considere, agora, uma superfície cilíndrica (aberta, ou seja, sem incluir as bases) circular, reta, de raio R , e comprimento (ou altura) 2 R , com uma densidade superficial constante (homogênea e estacionária) σ (conforme a Figura 2).

a Determine a carga total Q do tal cilindro.

b Supondo que tal cilindro é coaxial com o eixo Z , com seu plano médio coincidente com o plano z = 0 (conforme a Figura 2), determine o campo elétrico E → c em um ponto P 0 : x = 0 ,   y = 0 ,   z 0 do eixo Z , com cota z 0 .

c Encontre o limite assintótico do campo do cilindro determinado no item b (dependência do campo com z 0 ), para z 0 ≫ R . Discuta o resultado encontrado.

Passo 1

a Determine a carga total Q do tal cilindro.

Por definição, a densidade superficial de carga é dada por:

σ = d q d A

No entanto, como σ é constante, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

σ = Q A

Onde A é a área superficial do cilindro. Como o cilindro não tem a base, temos que:

A = 2 π R L

Onde L = 2 R . Logo:

A = 2 π R 2 R

A = 4 π R 2

Substituindo na expressão de σ , teremos:

σ = Q 4 π R 2

Finalmente:

Q = 4 π R 2 σ

Passo 2

b Supondo que tal cilindro é coaxial com o eixo Z , com seu plano médio coincidente com o plano z = 0 (conforme a Figura 2), determine o campo elétrico E → c em um ponto P 0 : x = 0 ,   y = 0 ,   z 0 do eixo Z , com cota z 0 .

Pra começar, vamos dividir o cilindro em infinitos anéis, cada um com carga d q e que gera um campo elétrico d E → em z 0 , dado pelo enunciado:

d E → = k 0 d q z 0 - z z ^ R 2 + z 0 - z 2 3 2

Onde z 0 - z é a distância do centro do anel infinitesimal ao ponto z 0 .

A carga d q está associada à densidade superficial de carga por:

d q = σ   d A

Onde d A = 2 π R d z . Logo:

d q = 2 π R σ   d z

d E → = 2 π R σ k 0 z 0 - z d z R 2 + z 0 - z 2 3 2 z ^

Agora só precisamos integrar esse cara, onde z vai variar de - R até + R . Portanto:

E → = 2 π R σ k 0 ∫ - R R z 0 - z d z R 2 + z 0 - z 2 3 2 z ^

Passo 3

Calma, eu sei que essa integral pode assustar, mas podemos resolvê-la usando uma substituição simples, se liga:

u = R 2 + z 0 - z 2

d u = - 2 z 0 - z d z

d z = - 1 2 z 0 - z d u

Assim, teremos:

E → = 2 π R σ k 0 ∫ z 0 - z u 3 2   - 1 2 z 0 - z d u z ^

Vamos dar uma organizada nisso:

E → = - 1 2 2 π R σ k 0 ∫ z 0 - z u 3 2   1 z 0 - z d u z ^

E → = - π R σ k 0 ∫ 1 u 3 2   d u z ^

E → = - π R σ k 0 ∫ u - 3 2   d u z ^

Agora sim, podemos integrar esse cara:

E → = - π R σ k 0 u - 1 / 2 - 1 / 2 z ^

E → = 2 π R σ k 0 u - 1 / 2 z ^

E → = 2 π R σ k 0 1 u 1 / 2 z ^

E → = 2 π R σ k 0 1 u z ^

Agora podemos substituir de volta:

E → = 2 π R σ k 0 1 R 2 + z 0 - z 2 - R R z ^

Finalmente:

E → = 2 π R σ k 0 1 R 2 + z 0 - R 2 - 1 R 2 + z 0 + R 2 z ^

Passo 4

c Encontre o limite assintótico do campo do cilindro determinado no item b (dependência do campo com z 0 ), para z 0 ≫ R . Discuta o resultado encontrado.

Antes de qualquer coisa, vamos ter que mexer um pouco com a expressão que encontramos do campo elétrico. Vou procurar fazer aos poucos.

E → = 2 π R σ k 0 1 R 2 + z 0 - R 2 - 1 R 2 + z 0 + R 2 z ^

E → = 2 π R σ k 0 1 R 2 + z 0 2 - 2 R z 0 + R 2 - 1 R 2 + z 0 2 + 2 R z 0 + R 2 z ^

E → = 2 π R σ k 0 1 z 0 2 - 2 R z 0 + 2 R 2 - 1 z 0 2 + 2 R z 0 + 2 R 2 z ^

Beleza, agora vamos tirar o z 0 de dentro da raiz:

E → = 2 π R σ k 0 1 z 0 1 - 2 R z 0 + 2 R 2 z 0 2 - 1 z 0 1 + 2 R z 0 + 2 R 2 z 0 2 z ^

E → = 2 π R σ k 0 z 0 1 1 - 2 R z 0 + 2 R 2 z 0 2 - 1 1 + 2 R z 0 + 2 R 2 z 0 2 z ^

E → = 2 π R σ k 0 z 0 1 1 - 2 R z 0 + 2 R 2 z 0 2 1 / 2 - 1 1 + 2 R z 0 + 2 R 2 z 0 2 1 / 2 z ^

E → = 2 π R σ k 0 z 0 1 - 2 R z 0 + 2 R 2 z 0 2 - 1 / 2 - 1 + 2 R z 0 + 2 R 2 z 0 2 - 1 / 2 z ^

Show! Agora, se fizermos z 0 ≫ R , vamos ver que todas as frações dentro dos parênteses vão tender a zero, e o resultado final seria zero.

No entanto, existe um jeito de resolver o problema, que é usando a expansão que inclusive é fornecida no formulário da prova:

1 + x n ≈ 1 + n x

x ≫ 1

Assim, para o primeiro e segundo termo, respectivamente, vamos fazer:

x = - 2 R z 0 + 2 R 2 z 0 2

x ' = 2 R z 0 + 2 R 2 z 0 2

Logo:

E → = 2 π R σ k 0 z 0 1 + x - 1 / 2 - 1 + x ' - 1 / 2 z ^

E → ≈ 2 π R σ k 0 z 0 1 - 1 2 x - 1 - 1 2 x ' z ^

E → ≈ 2 π R σ k 0 z 0 1 - 1 2 - 2 R z 0 + 2 R 2 z 0 2 - 1 - 1 2 2 R z 0 + 2 R 2 z 0 2 z ^

Agora é dar um jeito na bagunça:

E → ≈ 2 π R σ k 0 z 0 1 + R z 0 - R 2 z 0 2 - 1 - R z 0 - R 2 z 0 2 z ^

E → ≈ 2 π R σ k 0 z 0 1 + R z 0 - R 2 z 0 2 - 1 + R z 0 + R 2 z 0 2 z ^

E → ≈ 2 π R σ k 0 z 0 2 R z 0 z ^

Finalmente:

E → ≈ 4 π R 2 σ k 0 z 0 2 z ^

O interessante aqui é que na letra a nós encontramos:

Q = 4 π R 2 σ

E se olharmos novamente a expressão do campo elétrico, podemos reescrevê-la como:

E → ≈ k 0 Q z 0 2 z ^

Que é justamente o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme a uma distância z 0 da mesma. Ou seja, para z 0 ≫ R , o cilindro se comporta como uma carga puntiforme.

Resposta

a

Q = 4 π R 2 σ

b

E → = 2 π R σ k 0 1 R 2 + z 0 - R 2 - 1 R 2 + z 0 + R 2 z ^

c

E → ≈ 4 π R 2 σ k 0 z 0 2 z ^

E → ≈ k 0 Q z 0 2 z ^

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