Um engenheiro foi encarregado de projetar um dispositivo no qual um disco uniformemente carregado de raio produz em um ponto sobre o eixo do disco a uma distância do plano do disco. Para economizar material decidiu-se substituir o disco por um anel com o mesmo raio externo e um raio interno . O anel tem a mesma densidade superficial de cargas que o disco original. Qual é a razão entre o novo campo no ponto e o campo antigo?

A carga infinitesimal da região verde, é dada pelo produto da pequena área pela densidade superficial de carga, que é constante pois o disco está uniformemente carregado.

Essa distribuição de carga tem uma simetria cilindrica. Isso significa se pegarmos dois pedaços do anel diametralmente opostos (como na figura) e somarmos o campo produzido por cada um deles, o campo resultante vai estar na direção

Então o nosso campo é da forma

Lembrando que isso tem que tá bem justificadinho na sua prova hein! Se falar que é assim só por causa da simetria dá ruim :/

Agora temos que montar a expressão pro campo infinitesimal do anel. Como todos os pontos do anel estão a mesma distância do ponto que queremos calcular o campo, vamos ter então

Onde .

Mas ainda falta uma coisa! Cada infinitésimo produz um campo inclinado em relação ao eixo e quando somamos todos os pedaços do anel, ficamos só com a componente na direção . Pela figura abaixo a componenente é dada por

E então

Pela figura temos que

Assim

Subsitituindo e

Resolvendo a integral no caso (A):

Os detalhes de como calcular esta integral estão demonstrados na teoria.

Resolver a integral no segundo caso (B), que é completamente parecido. Nessa situação, vamos apenas alterar os limites de integração.

O limite inferior se altera, quando devemos calcular o novo cosseno do ângulo :

Assim, o valor que encontramos é:

Queremos a razão:

Substituindo :

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