A figura abaixo mostra dois anéis concêntricos de raios e , que estão no mesmo plano. O ponto está no eixo central , a uma distância do centro dos anéis. O anel menor possui carga uniforme distribuída . Em termos de , qual deve ser a carga uniformemente distrubuída no anel maior para que o campo elétrico no ponto seja nulo?
Passo 1
Notar a simetria do problema: o campo elétrico resultante está na direção , então, precisamos descobrir apenas qual é a componente desse campo nesta direção.
Passo 2
Calcular o campo elétrico que um pedaço do anel, com carga infinitesimal , exerce no ponto :
Onde é a distância entre um ponto do anel e o ponto como podemos ver na figura abaixo:
Passo 3
Calcular, pela geometria do problema, o valor de em função de e de :
Passo 4
Substituir na equação do segundo passo:
Passo 5
Olhar novamente o triângulo representado acima. Calcular a projeção do campo elétrico no eixo de simetria pela geometria do problema.
Passo 6
Integrar o valor do campo elétrico projetado ao longo do anel:
Passo 7
Vamos chamar o campo elétrico gerado pelo anel de raio de . A projeção dele no eixo de simetria será chamada de . Notar que o cálculo é muito parecido ao realizado no passo anterior.
Temos apenas que substituir a carga pela carga deste anel e substituir o raio pelo outro raio . Assim:
Passo 8
A questão informa que o campo elétrico no ponto é nulo. Logo:
Assim, temos que substituir as equações dos dois passos anteriores na igualdade acima e isolar para obter a resposta do problema: