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Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

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Enunciado

Considere um anel circular, muito fino, de raio a , com uma carga total Q distribuída, uniformemente (e estacionariamente) ao longo dele. O anel está no plano cartesiano x = 0 (ou seja, plano Y Z ), com o eixo X pelo centro do anel. Qual é o vetor campo elétrico num ponto P = ( x , 0,0 ) situado no eixo X ? K 0 = 1 4 . π . ϵ 0

  1. k 0 . Q x a 2 + x 2 3 2 . x ^
  2. - k 0 . Q x a 2 + x 2 3 2 . x ^
  3. k 0 . Q x 2 . x ^
  4. - k 0 . Q x 2 . x ^
  5. k 0 . Q x a 2 + x 2 3 2 . ( x ^ + y ^ + z ^ )
  6. - k 0 . Q x a 2 + x 2 3 2 . ( x ^ + y ^ + z ^ )

Passo 1

Calcular r : x 2 + a 2 = r 2 → r = x 2 + a 2

Passo 2

Determinar a componente infinitesimal de campo d E :

d E = K 0 . d q r 2 = K 0 . d q x 2 + a 2

Passo 3

Notar, pela simetria do problema, que a resultante do campo elétrico se encontra na direção do eixo do anel. Logo, todas as componentes que se encontram no plano do anel se anulam:

E R E S U L T A N T E = E | | = E X

E Y = E Z = 0 = E ⊥

Então, precisamos projetar d E na direção certa, na direção X ;

Passo 4

Substituir e calcular a componente E X

d E X = d E . cos ⁡ θ = d E . x r = K 0 . d q x 2 + a 2 .   x x 2 + a 2 = K 0 . d q . x x 2 + a 2 3 2

Passo 5

Integrar e achar o valor do campo resultante

E = ∫ d E x = ∫ K 0 . d q . x x 2 + a 2 3 2 = K 0 . x . ∫ d q x 2 + a 2 3 2 = K 0 . Q . x x 2 + a 2 3 2

Esse campo atua na direção x ^ , em seu sentido positivo. Por isso, já poderíamos, desde o início, ter eliminado as letras (b), (d), (e) e (f) :)

Resposta

Letra (A)

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