Um anel circular, muito fino, de raio , encontra-se em repouso no plano , com seu centro na origem. Tal anel possui carga total , uniformemente distribuída.
- Calcule o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) devido a tal anel num ponto do eixo , com cota arbitrária .
- Considere agora um bastão retilíneo, muito fino, em repouso, situado no eixo , entre e . Tal bastão também possui carga total , uniformemente distribuída. Calcule o vetor força elétrica sobre tal bastão devido ao anel. (Sugestão: a força sobre o bastão constitui-se da soma vetorial das forças sobre cada elemento infinitesimal do bastão carregado).
Passo 1
Pegando uma partícula infinitesimal podemos escrever a expressão do seu campo:
Decompondo nas duas componentes:
Integramos:
Passo 2
Podemos utilizar argumentos de simetria para justificar que só existe componente em :
Continuando:
Encontramos a componente por decomposição:
Lembrando que o triângulo é retângulo na origem dos eixos coordenados, e não onde está a carga .
Passo 3
Além disso, como a gente quer o campo no eixo , que é o eixo de simetria do anel, note como o campo não depende das coordenadas e . O anel está no plano , então podemos tirar da integral um tanto de coisas:
A integral da carga no anel dá a sua carga total:
Passo 4
Agora pra calcular a força é só montar a equação da força infinitesimal que o campo faz numa carga infinitesimal (Lei de Coulomb):
Integrando na barra toda:
Substituindo:
Passo 5
Agora atenção! Trocamos o diferencial de carga pela equação da densidade da barra:
Sabemos que a distribuição de carga é uniforme, portanto isto implica numa densidade constante igual à:
Que é a carga total pelo comprimento total. Logo:
Integrando:
Passo 6
Fazemos substituição simples:
A indefinida fica:
Passo 7
Logo:
Fica ligado de não esquecer esse sinal de menos na frente de tudo. E é só!
Resposta
a)
b)