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Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

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Enunciado

Campo Elétrico, Densidade de Carga, Campos Elétricos e Corpos Carregados

Uma barra isolada, de comprimento L , tem uma carga + Q distribuída uniformemente ao longo de sua extensão, conforme a figura.

a ) Determine o vetor campo elétrico no ponto P , situado a uma distância a da extremidade direita da barra;

b ) Suponha que uma outra carga isolada puntiforme + Q seja colocada num outro ponto distante 3 a da extremidade direita da barra. Determine o vetor campo elétrico no ponto P devido apenas à carga isolada;

c ) Determine, agora, o vetor campo elétrico total no ponto P ;

Passo 1

a ) Determine o vetor campo elétrico no ponto P , situado a uma distância a da extremidade direita da barra;

Beleza!

Pra resolver esse tipo de problema, vamos começar pegando, da barra, uma pedaço infinitesimal de carga d q e ver o campo elétrico produzido por ela.

O campo elétrico gerado pelo elemento de carga d q é dado por:

d E → = d q 4 π ϵ 0 r 2   r ^

Passo 2

Antes de voltarmos pra fórmula, repara que a carga infinitesimal d q pode ser escrita em função da densidade linear de carga λ .

d q = λ d r

Agora sim!

Passo 3

d E → = λ d r 4 π ϵ 0 r 2   r ^

Agora é só integrar esse cara, onde:

a ≤ r ≤ a + L

Logo:

E → = λ 4 π ϵ 0   ∫ a a + L d r r 2   r ^

E → = λ 4 π ϵ 0   - 1 r a a + L r ^

E → = λ 4 π ϵ 0   1 a - 1 a + L r ^

E → = λ 4 π ϵ 0 L a a + L r ^

E → = λ L 4 π ϵ 0 a ( a + L ) r ^

Como λ = Q L → Q = λ L , podemos substituir de volta. Além disso, r ^ = x ^ , logo:

E → = Q 4 π ϵ 0 a ( a + L ) x ^

Ah! Ao invés de r , você poderia ter usado x logo de cara também... não tem problema. Só procura desenhar o vetor pra especificar o jeito como você está usando ele.

Passo 4

b ) Suponha que uma outra carga isolada puntiforme + Q seja colocada num outro ponto distante 3 a da extremidade direita da barra. Determine o vetor campo elétrico no ponto P devido apenas à carga isolada;

Opa! Agora ficou tranquilo, só alegria!

O campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado por:

E → = 1 4 π ϵ 0 Q r 2 r ^

Como a carga + Q é colocada a uma distância 3 a da extremidade direita da barra, ela vai estar a uma distância 2 a do ponto P , como mostra a figura do enunciado.

Além disso, como a carga é positiva e está à direita do ponto P :

r ^ = - x ^

Portanto, substituindo na equação do campo elétrico:

E → = - 1 4 π ϵ 0 Q 2 a 2 x ^

E → = - 1 4 π ϵ 0 Q 4 a 2 x ^

E → = - Q 16 π ϵ 0 a 2 x ^

Passo 5

c ) Determine, agora, o vetor campo elétrico total no ponto P ;

Como o campo elétrico é uma grandeza vetorial, o campo elétrico total vai ser a soma vetorial dos campos que calculamos na letra a e na letra b :

E → R = E → a + E → b

E → R = Q 4 π ϵ 0 a ( a + L ) - Q 16 π ϵ 0 a 2 x ^

E → R = Q 4 π ϵ 0 a 1 a + L - 1 4 a x ^

Peraí! Só isso?!

Sim, só isso! ;)

Resposta

a )

E → = Q 4 π ϵ 0 a ( a + L ) x ^

b )

E → = - Q 16 π ϵ 0 a 2 x ^

c )

E → R = Q 4 π ϵ 0 a 1 a + L - 1 4 a x ^

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