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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

Passo 1

Primeiro de tudo vamos colocar essa equação no formato de uma equação exata.

x 2 y 3 d x + x 1 + y 2 d y = 0

Agora para testarmos o fator integrante devemos multiplicar toda a equação por λ = 1 x y 3 .

x 2 y 3 . 1 x y 3 d x + x 1 + y 2 . 1 x y 3 d y = 0

x d x + 1 + y 2 y 3 d y = 0

M x , y = x

N x , y = 1 + y 2 y 3

Passo 2

Tá tudo bonito e agora vamos testar se essa equação realmente ficou exata.

∂ M ∂ y = 0

∂ N ∂ x = 0

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Logo temos realmente uma equação exata e já podemos começar a aplicar o método.

Passo 3

Calculando ∫ M x , y d x

∫ x d x = x 2 2 + g ( y )

Passo 4

Derivando o que obtivemos no passo 2 por y .

∂ x 2 2 + g y ∂ y = g ' ( y )

Passo 5

Comparando o que temos no passo 4 com N ( x , y )

g ' y = 1 + y 2 y 3

Integrando a equação.

g y = ln ⁡ y - 1 2 y 2

Passo 6

Substituindo o passo 5 no que obtivemos no passo 3 teremos a função u x , y .

u = x 2 2 + ln ⁡ y - 1 2 y 2

A nossa solução será dada por u x , y = D

D = x 2 2 + ln ⁡ y - 1 2 y 2

2 D = x 2 + 2 ln ⁡ y - y - 2

Tomando 2 D = C

C = x 2 + 2 ln ⁡ y - y - 2

Resposta

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