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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 7

Seja y ( x ) uma solução particular da equação diferencial y ' = - x - x y . Calcular

lim x → ∞ ⁡ y ( x )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

y ' = - x - x y

y ' + x y = - x

Você tasca o olho nessa equação e percebe que ela pode ser escrita como y ' + P x y = Q ( x )

E aí você logo lembra: Fator integrante! E é isso mesmo!

São duas as pistas que te ajudam a identificar que vamos usar esse método:

  • é que tem um y ali dando sopa!
  • Todos os coeficientes ou são constantes, ou dependem apenas de x !

Nosso fator integrando vai ser

μ = e ∫ P ( x ) d x

E a solução y

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Beleza? Agora é só identificar no nosso problema, integrar e #partiu achar solução!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa edo é

y ' + x y = - x

Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = x ; Q x = - x

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ x d x = e x 2 2

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução!

A solução y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . e x 2 2 = - ∫ x . e x 2 2 d x

x 2 2 = u ,   d u = x   d x

Aí temos

y . e x 2 2 = - ∫ e u d u

Tudo bem até aqui? Agora é só integrar!

y . e x 2 2 = - e u + C

Aí nossa solução fica assim

y . e x 2 2 = - e x 2 2 + C

y x = - 1 + C e - x 2 2

Beleza?

Ufa! Estamos quase lá! Por fim queremos saber o limite

lim x → ∞ ⁡ Y x

lim x → ∞ ⁡ - 1 + C e - x 2 2 ⏝ = 0 = - 1

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

- 1

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