Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme caso abaixo:
Passo 1
O problema não nos deu condições de valor inicial. Então, vamos ter uma constante indeterminada no final.
Temos aqui uma equação com e separados e com funções multiplicando os dois. Assim temos uma equação na forma:
Então, podemos verificar se é uma função exata. Para isso, começamos usando o critério de Euler:
Para isso, vamos começar derivando:
Agora vamos derivar N em relação a . Analogamente, vamos ter:
Putz, temos então que
Ou seja, não temos uma equação exata :/
Mas a fé não acaba, vamos tentar resolver essa equação não-exata usando fator integrante.
Passo 2
Para encontrar o fator integrante, verificamos nossos candidatos. O primeiro candidato vai ser dado por:
Se essa expressão for uma função apenas de x, então esse será nosso candidato. Substituindo o que já encontramos:
Essa é uma função só de , então adotamos a expressão para calcular o nosso fator integrante.
Passo 3
O fator integrante vai ser dado por:
Show! Ficou bem bonito esse fator integrante aí.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar nossa equação por esse fator integrante:
E testando para equação exata novamente:
OPA! Agora deu igual! Então podemos resolver como sendo uma equação exata!
Passo 5
Como agora temos aqui uma equação exata, a solução vai ser dada implicitamente por:
Então, vamos precisar calcular essa integral. Para isso temos:
Aparece esse , porque estamos integrando em relação a .
Para completar a solução, precisamos determinar esse . Fazemos isso comparando:
Passo 6
Então vamos derivar:
Passo 7
E então vamos comparar:
Passo 8
Então, encontramos integrando :
Aqui não precisamos colocar a constante. Ela vai aparecer no final.
Passo 9
Legal, agora já podemos escrever nossa solução: