UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Listas da Prof. Thaís Dalbelo – Lista 1 – 6a
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos responder essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO de primeira ordem não homogênea e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Mas como a gente faz isso?
Bom, a nossa EDO tem essa cara aqui:
Certo? Sempre que a nossa equação tiver essa cara a nossa solução vai ser dada por:
Onde
Calma, vamos por partes. Comparando a nossa equação com a forma geral, temos:
O que nós vamos fazer é calcular a integral (sem adicionar a constante). A partir daí, calcular o que chamamos de fator integrante e jogar na nossa integral maior para encontrar a solução .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a integral:
Jogando a constante pro lado de fora:
Nosso fator integrante então vai ser:
Passo 3
Agora vamos substituir tudo na fórmula da solução geral:
Aplicando a distributiva ali dentro dos parênteses, temos:
Vamos separar essa integral pra ficar mais fácil de resolver.
Passo 4
Temos:
Separando a integral da soma na soma das integrais (que é uma propriedade), temos:
A gente sabe que a integral de é o próprio , mas e a primeira integral? Bom, nós vamos ter que usar a integração por partes, lembra dela? Ela tem a forma:
O nosso precisa ser alguém fácil de derivar e o nosso precisa ser fácil de integrar. Vamos fazer:
Substituindo na integral:
Resolvendo:
Dá pra gente simplificar um pouco mais, colocando o em evidência:
Beleza, então nossa integral fica:
Mas não acabou ainda não. Vamos substituir todo mundo na fórmula da solução geral.
Passo 5
Substituindo o nosso resultado em:
Temos:
Ou seja,
E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉