Determine uma função de maneira que seja um fator integrante para a equação diferencial.
NÃO RESOLVA A EDO ACIMA!
Passo 1
Bem, vamos começar reduzindo a equação acima á uma equação diferencial exata.
Pela teoria, basta multiplica-la pelo fator integrante que a gente quer:
Passo 2
Se a equação acima está reduzida a uma equação diferencial exata, que condições necessariamente ela deve obedecer?
Então, Se a gente chamar
Necessariamente ela deve obedecer
Bem, então aqui não tem muito mistério, basta derivar e aplicar a igualdade, Bora?
Passo 3
Calculando então a primeira derivada parcial, não se esquecendo da regra do produto
Ou seja
Calculando a derivada parcial de em relação a
Passo 4
Bem, se a gente voltar para a condição de que se trata de uma equação diferencial exata e portanto
Substituindo...
Cortando esse de um lado e do outro
Dividindo todo mundo por
Repare bem que encontrar é encontrar a solução da EDO acima, bora lá?:)
Passo 5
Se você reparar bem, o primeiro lado da equação diferencial é a derivada do produto
Ou seja
Como , ganhamos
Integrando em os dois lados
Lembrando que
Onde é a constante de integração. Como o exercício nos pediu uma função específica, podemos escolher qualquer valor para .
Tomando então