No seu livro de Cálculo de 1696, L ' H ô p i t a l ilustrou sua regra com o limite da função

f x = 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4

Quando x → a ,   a > 0 . Calcule o valor deste limite.

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui, se substituirmos ali os valores diretos de x tendendo a zero teremos 0/0 o que nos permite aplicar a regra do homem.

Vamos então derivar o numerador e o denominador!

Passo 2

A derivada do numerador é

2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 ' = 1 2 2 a 3 x - x 4 2 a 3 - 4 x 3 - a 3 a 4 x 2 3 a 2 = a 3 - 2 x 3 2 a 3 x - x 4 - a 2 3 a x 2 3

Para o denominador:

a - a x 3 4 ' = - 3 a x 2 4 a 3 x 9 4 = - 3 a 4 a 3 x 4

Passo 3

Assim, agora calculando o limite para x → a pra derivada do numerador

a 3 - 2 a 3 2 a 3 a - a 4 - a 2 3 a a 2 3 = - 4 a 3

E do denominador

- 3 a 4 a 3 a 4 = - 3 4

Dividindo um pelo outro temos que

lim x → a ⁡ f x = 16 a 9

Resposta

lim x → a ⁡ f x = 16 a 9

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