- Determine uma função de modo que
seja um fator integrante da equação diferencial
Passo 1
Temos a equação
Se multiplicarmos tudo por , teremos
Ou seja, a equação estará na forma de uma equação exata/quase exata. Como a questão falou em fator integrante, sabemos que não será exata, então será quase exata.
Sendo uma equação quase exata, multiplicamos pelo fator integrante, ficando
e então a equação se tornará uma equação exata. Pelo critério de Euler, necessariamente
E então usamos essa relação para achar a expressão de .
Passo 2
Show, vamos derivar então. Pela regra do produto,
E também teremos
Passo 3
Agora igualamos as expressões, ficando
E então organizamos isso aí:
Multiplicamos tudo por :
Passo 4
Para ficar claro que que tá rolando, vamos considerar , assim:
Dividindo tudo por :
E essa é uma EDO do tipo separável. Colocando tudo que é de um lado e tudo que é do outro, vamos ter:
E então integramos dos dois lados:
Isolando :
Para cortar a exponencial com o log, usamos a propriedade do peteleco:
Então, definindo:
Como o problema pediu alguma expressão para , podemos fazer e temos uma expressão válida: