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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 5

Seja z = z ( x ) uma função tal que z ' - z x = x ln ⁡ x . Calcule z x '

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

z ' - z x = x ln ⁡ x  

Você tasca o olho nessa equação e percebe que ela pode ser escrita como y ' + P x y = Q ( x )

E aí você logo lembra: Fator integrante! E é isso mesmo!

São duas as pistas que te ajudam a identificar que vamos usar esse método:

  • é que tem um y ali dando sopa!
  • Todos os coeficientes ou são constantes, ou dependem apenas de x !

Nosso fator integrando vai ser

μ = e ∫ P ( x ) d x

E a solução y

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Beleza? Agora é só identificar no nosso problema, integrar e #partiu achar solução!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa edo é

z ' - z x = x ln ⁡ x

Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = - 1 x ; Q x = x ln ⁡ x

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e - ∫ 1 x d x

Aí temos

μ = e - ∫ 1 x d x = e - ln ⁡ x = e ln ⁡ x - 1 = x - 1

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução!

A solução z ( x ) via fator integrante é essa aqui

z μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Agora é substituir na solução z ( x ) !

z μ = ∫ μ Q ( x ) d x

z . x - 1 = ∫ x ln ⁡ x . x - 1 d x = ∫ ln ⁡ x d x

Agora basta resolver!

z x = ∫ ln ⁡ x d x

Usando por partes e chamando u = ln ⁡ x ,   d u = 1 x d x , d v = d x ,   v = x . E lembrando que ∫ u d v = u v - ∫ v   d u

z x = x ln ⁡ x - ∫ x . 1 x d x

Tudo bem até aqui? Agora é só integrar!

z x = x ln ⁡ x - x + C

Beleza? Agora o problema pediu

z x '

Então é só derivar a expressão que encontramos!

z x ' = x ln ⁡ x - x + C '

= ln ⁡ x + 1 - 1

= ln ⁡ x

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

ln ⁡ x

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