Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

Ver Teoria
Exercício 851234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848687888990919293949596979899100

Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 2e

Resolva as equações diferenciais:

e ) d s d t + s c o s   t = 1 2 sin ⁡ 2 t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

d s d t + s c o s   t = 1 2 sin ⁡ 2 t  

Você tasca o olho nessa equação e percebe que ela pode ser escrita como y ' + P x y = Q ( x )

E aí você logo lembra: Fator integrante! E é isso mesmo!

São duas as pistas que te ajudam a identificar que vamos usar esse método:

  • é que tem um y ali dando sopa!
  • Todos os coeficientes ou são constantes, ou dependem apenas de x !

Nosso fator integrando vai ser

μ = e ∫ P ( x ) d x

E a solução y

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Beleza? Agora é só identificar no nosso problema, integrar e #partiu achar solução!

No nosso caso y → s ,   x → t

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa edo é

d s d t + s c o s   t = 1 2 sin ⁡ 2 t

Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P t = cos ⁡ t ; Q t = 1 2 sin ⁡ 2 t

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ cos ⁡ t d x

Aí temos

μ = e sin ⁡ t

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução!

A solução s ( t ) via fator integrante é essa aqui

s μ = ∫ μ Q ( t ) d t

Agora é substituir na solução s ( t ) !

s μ = ∫ μ Q ( t ) d t

s . e sin ⁡ t = ∫ e sin ⁡ t . 1 2 sin ⁡ 2 t d t

Agora basta resolver!

1 2 sin ⁡ 2 t = sin ⁡ t cos ⁡ t no integrando

s . e sin ⁡ t = ∫ e sin ⁡ t . sin ⁡ t cos ⁡ t d t

Tudo bem até aqui? Agora é só integrar! Aplicando por partes, vamos chamar

d v = e sin ⁡ t cos ⁡ t d t ,   v = e sin ⁡ t

u = sin ⁡ t ,   d u = cos ⁡ t

Lembrando ∫ u d v = u v - ∫ v d u

s . e sin ⁡ t = sin ⁡ t e sin ⁡ t - ∫ cos ⁡ x e sin ⁡ x d x

s . e sin ⁡ t = sin ⁡ t e sin ⁡ t - e sin ⁡ t + C

Aí nossa solução fica assim

s t = sin ⁡ t - 1 + C e - sin ⁡ t

Beleza?

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

s t = sin ⁡ t - 1 + C e - sin ⁡ t

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores