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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 2d

Resolva as equações diferenciais:

d ) cos ⁡ t d s d t + s sin ⁡ t = 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

cos ⁡ t d s d t + s sin ⁡ t = 1

s ' + sin ⁡ t cos ⁡ t   s = 1 cos ⁡ t

Você tasca o olho nessa equação e percebe que ela pode ser escrita como y ' + P x y = Q ( x )

E aí você logo lembra: Fator integrante! E é isso mesmo!

São duas as pistas que te ajudam a identificar que vamos usar esse método:

  • é que tem um y ali dando sopa!
  • Todos os coeficientes ou são constantes, ou dependem apenas de x !

Nosso fator integrando vai ser

μ = e ∫ P ( x ) d x

E a solução y

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Beleza? Agora é só identificar no nosso problema, integrar e #partiu achar solução!

No nosso caso y → s ,   x → t

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa edo é

s ' + sin ⁡ t cos ⁡ t   s = 1 cos ⁡ t

Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P t = sin ⁡ t cos ⁡ t ; Q t = 1 cos ⁡ t

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ sin ⁡ t cos ⁡ t d t = e - ∫ d u u = e - ln ⁡ u

Aí temos

μ = e ln ⁡ u - 1 = u - 1 = 1 cos ⁡ t

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução!

A solução s ( t ) via fator integrante é essa aqui

s μ = ∫ μ Q ( t ) d t

Agora é substituir na solução s ( t ) !

s μ = ∫ μ Q ( t ) d t

s . 1 cos ⁡ t = ∫ 1 cos ⁡ t . 1 cos ⁡ t d t

Agora basta resolver!

Vamos trocar 1 2 sin ⁡ 2 t = sin ⁡ t cos ⁡ t no integrando

s . 1 cos ⁡ t = ∫ sec 2 ⁡ t d t

Tudo bem até aqui? Agora é só integrar!

s cos ⁡ t = tan ⁡ t + C

Aí nossa solução fica assim

s t = sin ⁡ t + C c o s   t

Beleza?

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

s t = sin ⁡ t + C c o s   t

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