Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme seja o caso:
(b)
Passo 1
Temos aqui uma EDO que está com e separados e multiplicados por funções de e . Ou seja, temos um problema com cara de EDO exata na forma:
Sendo:
OK, mas para saber se é mesmo uma EDO exata, precisamos aplicar a condição de Euler:
Vamos aplicá-la então. Derivando em relação a , obtemos
Já derivando em relação a ,
Opa! As derivadas deram diferentes, então não temos aqui uma EDO exata...
Passo 2
Quem poderá nos salvar agora? Bem, não temos uma EDO exata logo de cara, mas podemos ter uma EDO quase exata que admite um fator integrante. Então, vamos agarrar essa esperança e tentar achá-lo. Existem dois candidatos:
Candidato :
Candidato 2:
Em que só adotaremos o candidato se for função apenas de ou for função apenas de . OK, já calculamos as derivadas, então é só substituir. No candidato vai ficar
O resultado deu uma função constante. Pode não parecer intuitivo, mas é perfeitamente aceitável como uma função apenas de , então a condição para admitir esse candidato é satisfeita e ficaremos com o candidato mesmo.
Passo 3
Encontrado o candidato, o fator integrante é determinado a partir dele:
Substituindo o que achamos:
Assim mesmo, sem a constante por enquanto.
Passo 4
Encontrado o fator integrante, vamos multiplicar a EDO por ele:
E temos novos e que vamos chamar de e :
Então, testamos a condição de Euler novamente:
OPA NOVAMENTE! Só que agora, temos exatamente o que queríamos:
Transformamos a nossa equação quase exata numa equação exata. Agora podemos resolvê-la como tal.
Passo 5
A equação exata tem solução implícita na forma:
Então vamos calcular essa integral:
Como estamos integrando em relação a , tudo que for vai se comportar como constante. Além disso, vai aparecer uma função de ao final no lugar da tradicional constante da integral indefinida. Show, então vamos separar essa integral para facilitar:
Vamos resolver integral por integral com bastante calma. Vem comigo!
Para a primeira,
vamos usar a integração por partes.
Seguindo a regra do LIATE para escolher , temos que a função algébrica ganha da exponencial. Logo, teremos:
O é aquilo que sobra no integrando:
E o sai integrando sem a constante:
Show. Assim vai ficar:
Uma já foi. Vamos agora para outra:
Seguimos a mesma ideia da integral anterior:
Logo:
A integral que apareceu acabou de ser calculada. Então temos:
Por último:
Assim, vamos ter:
Passo 6
Maneiro, mas não podemos escrever a solução final sem encontrar a expressão de . Para achá-lo, usamos a relação:
Então derivamos o que encontramos anteriormente em relação a :
E comparamos com :
Passo 7
Encontramos . Para achar , fazemos o que? Integramos!
Novamente sem a constante. Agora podemos substituir na fórmula geral:
Como o fator integrante multiplicou ambos lados da equação, a solução da equação exata que encontramos agora é a mesma da equação inicial do problema. 😊