Equações Exatas e Quase Exatas
Determine a solução geral da equação
Passo 1
Essa equação tem uma cara de equação exata, mas para dizer isso temos que verificar. A cara da equação exata é
Então temos
E
Vamos usar o critério ode Euler e ver se é igual a
E
E acabamos de ver que esses caras são diferentes, então essa equação não é exata.
E agora? Vamos ver se essa equação tem um fator integrante.
Passo 2
Vamos achar o fator integrante, vamos ver se ele existe dependendo só de
Com
Então vamos achar essa função
E vamos ter
Essa função não depende só de , então ele não tem um fator integrante que depende só de , temos que olhar se tem um que depende só de .
Passo 3
Vamos achar o fator integrante, vamos ver se ele existe dependendo só de
Com
Então vamos achar essa função
E vamos ter
Opa, ele depende só de então é um fator integrante.
Vamos achar a integral de para acharmos o fator integrante
O fator integrante vai ser
Então podemos pegar
Passo 4
A nossa nova equação vai ser encontrada multiplicando aquela do enunciado pelo fator integrante
Arrumando isso
Vamos ter
E
A primeira coisa que fazemos é integrar em relação a
Passo 5
Agora vamos derivar em relação a e comparar com
E vamos ter
E
Assim vamos ter
Passo 6
A solução da nossa equação exata vai ser
Já temos a nossa função potencial, então
Podemos juntar em uma constante só