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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 1 – Questão 9

Dada a equação diferencial 1 + t 2 y ' + 4 t y = 1 + t 2 - 2 assinale a alternativa que contenha um fator integrante para essa equação:

  1. μ t = 1 + t 2
  2. μ t = e 1 + t 2
  3. μ t = t 2  

Passo 1

Oi galera, tudo beleza? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos lá?

Primeiro vamos trocar y ' por d y d t :

1 + t 2 y ' + 4 t y = 1 + t 2 - 2

1 + t 2 d y d x + 4 t y = 1 + t 2 - 2

E multiplicar tudo por d t :

( 1 + t 2 ) d y + 4 t y - 1 + t 2 - 2 d t = 0

Daí da nossa teoria temos:

M = 1 + t 2 ∴ ∂ M ∂ t = 2 t  

N = 4 t y - 1 + t 2 - 2 ∴ ∂ N ∂ y = 4 t

E daí nossa função para ser expoente do fator integrante é:

h t = ∂ N ∂ y - ∂ M ∂ t M = 4 t - 2 t 1 + t 2 = 2 t 1 + t 2

Passo 2

E o fator integrante é:

μ t = e ∫ h ( t ) d t

Vamos fazer ∫ h ( t ) d t separadamente:

∫ h ( t ) d t = ∫ 2 t 1 + t 2 d t

Por substituição u = 1 + t 2 ,   d u = 2 t d t , daí:

∫ h ( t ) d t = ∫ d u u = ln ⁡ u = ln ⁡ ( 1 + t 2 )

Passo 3

E agora substituir no expoente do fator integrante:

μ t = e ln ⁡ ( 1 + t 2 ) = 1 + t 2

E assim a resposta correta é a (a).

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

Resposta

( a )

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