Determine a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Olhando assim temos uma EDO bastante bizarra, mas vamos reescrever
Assim, vai ficar:
Multiplicando tudo por , vai ficar:
E agora temos uma equação na forma da equação exata!
Passo 2
Está na forma da equação exata, mas precisamos verificar se é exata mesmo. Para isso, vamos usar o critério de Euler:
Para isso, vamos começar derivando:
Agora vamos derivar N em relação a . Analogamente, vamos ter:
Putz, por muito pouco temos que
Ou seja, não temos uma equação exata :/
Mas a fé não acaba, vamos tentar resolver essa equação não-exata usando fator integrante.
Passo 3
Para encontrar o fator integrante, verificamos nossos candidatos. O primeiro candidato vai ser dado por:
Se essa expressão for uma função apenas de x, então esse será nosso candidato. Substituindo o que já encontramos:
Essa é uma função só de , então adotamos a expressão para calcular o nosso fator integrante.
Passo 4
O que encontramos é o candidato a fator integrante! Ou seja, calculamos o fator integrante a partir dele. No caso, o fator integrante vai ser dado por:
Podemos cortar a exponencial com o log, mas para isso, usamos a propriedade do peteleco e jogamos o dois para dentro do logaritmo:
Show! Ficou bem bonito esse fator integrante aí.
Passo 5
Agora, vamos multiplicar nossa equação por esse fator integrante:
Vamos reescrever como
para não confundir com os termos da equação anterior.
E, agora, testamos para equação exata novamente:
OPA! Agora deu igual! Então podemos resolver essa nova equação como sendo uma equação exata! Vamos reescrever como
Passo 6
Como agora temos aqui uma equação exata, a solução vai ser dada implicitamente por:
Então, vamos precisar calcular essa integral. Para isso temos:
Aparece esse , porque estamos integrando em relação a , já deixamos ali apesar de não ter calculado as integrais ainda para dar ênfase nesta parte que é bem importante #FICAADICA. Vamos olhar para cada integral separadamente agora.
Temos uma função e a sua derivada a menos de uma constante aparecendo ali , logo está cheirando a substituição simples. Vamos fazer:
Portanto, vai ficar:
Show, agora vamos para:
Como estamos integrando em relação a toda função de é com se fosse constante. Assim, vamos ter:
Substituindo esses valores que encontramos, vai ficar:
Para completar a solução, precisamos determinar esse . Fazemos isso comparando:
Passo 7
Então vamos derivar:
Passo 8
E então vamos comparar:
Passo 9
Então, encontramos integrando :
Aqui não precisamos colocar a constante. Ela vai aparecer no final.
Passo 10
Legal, agora já podemos escrever nossa solução:
Passo 11
E agora usando o valor inicial que ele deu: