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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 2j

Resolva as equações diferenciais:

j ) d r = 1 + 2 r   c o t g θ d θ r π 2 = 3

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

d r = 1 + 2 r   c o t g θ d θ r π 2 = 3  

Reorganizando um pouco temos

d r d θ = 1 + 2 r   c o t g θ

r ' - 2   c o t g θ   r = 1

Você tasca o olho nessa equação e percebe que ela pode ser escrita como y ' + P x y = Q ( x )

E aí você logo lembra: Fator integrante! E é isso mesmo!

São duas as pistas que te ajudam a identificar que vamos usar esse método:

  • é que tem um y ali dando sopa!
  • Todos os coeficientes ou são constantes, ou dependem apenas de x !

Nosso fator integrando vai ser

μ = e ∫ P ( x ) d x

E a solução y

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Beleza? Agora é só identificar no nosso problema, integrar e #partiu achar solução!

y → r ,   x → θ

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa edo é

r ' - 2   c o t g θ   r = 1

Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P θ = - 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ ; Q x = 1

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e - 2 ∫ cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Para essa integral vamos chamar

u = sin ⁡ θ

d u = cos ⁡ θ d θ

Aí temos

μ = e - 2 ∫ 1 u d u = e - 2 ln ⁡ u = u - 2

E agora voltando para x

μ = u - 2 = sin ⁡ θ - 2

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução!

A solução r ( θ ) via fator integrante é essa aqui

r μ = ∫ μ Q θ d θ

Agora é substituir na solução r ( θ ) !

r μ = ∫ μ Q θ d θ

r . sin ⁡ θ - 2 = ∫ sin ⁡ θ - 2 . 1 d x

Agora basta resolver!

r . sin ⁡ θ - 2 = ∫ c o s s e c 2 θ d θ

Tudo bem até aqui? Agora é só integrar!

r . sin ⁡ θ - 2 = - c o t a n   θ + C

Mas r π 2 = 3 então podemos achar C

3 . 1 - 2 = - 0 + C

C = 3

Aí nossa solução fica assim

r θ = - c o t a n θ sin - 2 ⁡ θ + C sin - 2 ⁡ θ

r θ = - sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 3 sin 2 ⁡ θ

Beleza?

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

r θ = - sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 3 sin 2 ⁡ θ

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