Equações exatas e Quase Exatas
Determine a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
Opa, com essa cara você já fica esperto pra ver se é exata ou quase exata né? Exatamente isso, vamos ver:
Se lembra de regra da derivada do produto? Foi o que usamos, fica atento a esses paranauês!
Como vemos:
Então esse cara não é exato! Temos achar um fator integrante, certão?
Passo 2
Achando o fator integrante, se:
Então ele admite o fator integrante
Vamos ver isso daí:
Opa!! Deu certo, viu? Não desista jovem. Então admite o fator integrante:
Para temos que:
Esse daí é o fator integrante, então é só multiplicar ele na EDO quase exata que ela vira exata!
Que beleza, agora podemos resolver normalmente (Faz um teste rapidinho pra ver se ficou exata mesmo??!)
Passo 3
Então vamos lá, só pra relambrar, eu sei que existe uma função tal que , isso é uma forma de analisar a variação de uma função que depende de duas variáveis , não se assuste. Não fica com a cara da EDO que o cara propôs? Onde:
E
E como
A gente que encontrar é esse , isso é solucionar essa EDO exata! Estou falando isso só pra dar aquela revisada!
Então podemos integrar:
Essa função que apareceu que depende só de é a “constante” que sai da integral indefinida, mas como integramos com relação a , é tratado como constante, por isso ela aparece dependente de . Agora vamos derivar esse cara com relação a :
Mas opa, vimos la em cima que:
Substituindo:
Daí temos que:
“Por que esse cara não tem constante? Calma jovem, é porque essa constante iria se juntar com a constante e viraria outra constante qualquer, então não altera o resultado!
Agora vamos substituindo isso naquele que fizemos lá em cima:
Desculpa se a volta foi grande, resolvi fazer uma revisão para esclarecer qualquer dúvida! Se não curtiu manda um report que eu tiro! Finish!