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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 2a

Resolva as equações diferenciais:

a )   y ' - 2 y x + 1 = x + 1 3

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

y ' - 2 y x + 1 = x + 1 3  

Você tasca o olho nessa equação e percebe que ela pode ser escrita como y ' + P x y = Q ( x )

E aí você logo lembra: Fator integrante! E é isso mesmo!

São duas as pistas que te ajudam a identificar que vamos usar esse método:

  • é que tem um y ali dando sopa!
  • Todos os coeficientes ou são constantes, ou dependem apenas de x !

Nosso fator integrando vai ser

μ = e ∫ P ( x ) d x

E a solução y

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Beleza? Agora é só identificar no nosso problema, integrar e #partiu achar solução!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa edo é

y ' - 2 y x + 1 = x + 1 3

Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = - 2 x + 1 ; Q x = x + 1 3

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e - 2 ∫ 1 x + 1 d x

Para essa integral vamos chamar

u = x + 1

d u = d x

Aí temos

μ = e - 2 ∫ 1 x + 1 d x = e - 2 ∫ 1 u d u = e - 2 ln ⁡ u = u - 2

E agora voltando para x

μ = u - 2 = x + 1 - 2

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução!

A solução y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . x + 1 - 2 = ∫ x + 1 - 2 . x + 1 3 d x

Agora basta resolver!

y . x + 1 - 2 = ∫ ( x + 1 ) d x

Tudo bem até aqui? Agora é só integrar!

y . x + 1 - 2 = x 2 2 + x + C

Aí nossa solução fica assim

y x = x 2 x + 1 2 2 + x x + 1 2 + ( x + 1 ) C

Beleza?

Ufa! Estamos quase lá!

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = x 2 x + 1 2 2 + x x + 1 2 + ( x + 1 ) C

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