UNICAMP, Cálculo 3, Exame 2012, Questão 1
Encontre um fator integrante e resolva a equação dada
Passo 1
Olha aí, tem cara de equação exata. Vamos aplicar o teste de Euler para verificar se essa EDO é exata.
e vemos que
Assim, precisamos de fato de um fator integrante para resolver esta equação quase exata.
Passo 2
Vamos calcular assim:
Paaaara aí! Isso não é uma função só de ...
Então vamos tentar o outro candidato:
Ahh agora sim – que alívio! =)
Passo 3
Beleza, então vamos encontrar o fator integrante agora:
Vamos resolver aquela integral separada
Podemos ver que
Aqui, vamos usar substituição, fazendo:
Assim nossa integral fica
Voltando para , vamos ter
Agora o nosso fator integrante vai ser
E multiplicamos a equação toda por ele:
Usando as relações trigonométricas para cotangente e cossecante, vamos ter:
Passo 4
A nova equação é exata, aí fazemos o mesmo procedimento:
Agora sim,
Passo 5
Temos que achar a função , onde a nossa EDO exata é assim:
A nossa EDO é
Comparando com a nossa EDO, temos
Vamos tomar primeiro a integral de
Agora vamos fazer e comparar com o que achamos ali em cima
Passo 6
Igualando o obtido no passo 5 com da EDO:
Integrando para obtermos (sem acrescentar a constante):
Passo 7
Agora vamos ter que a função vai ser
A solução é dada por :