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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

Tarefa 3, Grau G1 - MAT 1154 Cálculo IV – PUCRIO – Questão 2

i ) Seja a ∈   R uma constante. Encontre uma solução para o PVI

a 2 + t 2 t 2 x ˙ t + x ( t ) = t 2020 t 2 a 2 + t 2 x 1 = 1

i i ) É possível escolher a constante a ∈   R de modo a garantir que x ( t )   →   0 conforme t → ∞ ?

Passo 1

Vamos começar!

Bom! Temos uma equação não homogênea de primeira ordem! O modelo ideal desse tipo de equação é dado por...

x ' + p t x = g ( t )

E a nossa EDO é dada por...

a 2 + t 2 t 2 x ' + x = t 2020 t 2 a 2 + t 2

Ou seja! A primeira coisa a se fazer aí é um ajuste pra ficar no formato ideal. Multiplicando dos dois lados por um termo em comum, que no caso é dado por...

T e r m o   c o m u m :   t 2 a 2 + t 2

Temos que...

a 2 + t 2 t 2 ⋅ t 2 a 2 + t 2 x ' + t 2 a 2 + t 2 x = t 2 a 2 + t 2 ⋅ t 2020 t 2 a 2 + t 2

x ' + t 2 a 2 + t 2 x = t 2020

x ' + t 2 a 2 + t 2 x = t 2020

Passo 2

E pra resolver essa EDO, vamos usar o fator de integração μ ( t ) !

É uma regrinha básica, que diz que se a gente tem uma equação no formato...

x ' + p t x = g ( t )

μ ( t ) será dado por...

μ t = e ∫ p t d t

E para obter a solução geral, é preciso usar a relação abaixo...

μ t ⋅ x ( t ) = ∫ μ t ⋅ g t d t

No caso, pela nossa equação do P a s s o   1 , sabemos que...

p t = t 2 a 2 + t 2

g t = t 2020

Passo 3

Bom! Vamos ao que interessa!

Primeiro, calculamos o fator integrante...

μ t = e ∫ p t d t

μ t = e ∫ t 2 a 2 + t 2 d t

Fazendo t = a u e aplicando a integração por substituição...

t = a u ⇒ d t = a d u

Temos que

∫ t 2 a 2 + t 2 d t = ∫ a 2 u 2 a 2 + a 2 u 2 a d u = a ∫ u 2 1 + u 2 d u = a ∫ - 1 1 + u 2 + 1 d u =

= - a ∫ 1 1 + u 2 d u + a ∫ 1 d u = a - arctan ⁡ u + u

Como u = t / a :

∫ t 2 a 2 + t 2 d t = a - arctan ⁡ t a + t a = - a arctan ⁡ t a + t

Logo...

μ t = e - a arctan ⁡ t a + t

Passo 4

E então, já sabendo μ ( t ) vamos recorrer à fórmula abaixo:

μ t ⋅ x ( t ) = ∫ μ t ⋅ g t d t

e - a arctan ⁡ t a + t x ( t ) = ∫ e - a arctan ⁡ t a + t t 2020 d t

e - a arctan ⁡ t a + t x t = ∫ t 2020 e - a arctan ⁡ t a + t d t

Isolando x ( t ) ...

x t = ∫ t 2020 e - a arctan ⁡ t a + t d t e - a arctan ⁡ t a + t + c 1 e - a arctan ⁡ t a + t

É o máximo que a gente pode fazer! Já que essa integralzinha aí é impossível de resolver! Meu irmão do céu!

Passo 5

Pra esse segundo item, aí já da pra gente fazer um pagode!

A questão pergunta se é possível escolher a constante a ∈   R de modo a garantir que x ( t )   →   0 conforme t → ∞ !

Bom! No denominador de x ( t ) , temos a seguinte expressão...

e - a arctan ⁡ 1 a + 1

Então, uma vez que x ( t ) é dada por...

x t = ∫ t 2020 e - a arctan ⁡ t a + t d t e - a arctan ⁡ t a + 1 + c 1 e - a arctan ⁡ t a + 1

Pra fazer x ( t ) tender a zero, é preciso que a expressão no denominador tenda pro mais infinito ( + ∞ ) ...

e - a arctan ⁡ t a + t → + ∞

Vamos ver se isso é possível! Testemos com a = 0 :

lim t → ∞ ⁡ e t = ∞

Não colou! Agora, vamos ver com a sendo um valor muito grande positivo, por exemplo a = 2000 ...

lim t → ∞ ⁡ e - 2000 arctan ⁡ t 2000 + t = ∞

Quando t tende ao infinito com a positivo, o ângulo vai tender a ir pra 90 ° ! Ou seja, a única saída possível seria que a   tendesse ao infinito! A questão é!? Será que esse limite existe!?

Porque na prática, o que estamos tentando ver é o seguinte...

lim ( a , t ) → ( ∞ , ∞ ) ⁡ e - a arctan ⁡ t a + t = ?

Passo 6

Usando diferentes caminhos e fazendo t = k a , com k sendo uma constante, temos que...

lim ( a , t ) → ( ∞ , ∞ ) ⁡ e - a arctan ⁡ t a + t = lim a → ∞ ⁡ e - a arctan ⁡ k a a + k a = lim a → ∞ ⁡ e - a arctan ⁡ k + k a

Se k por exemplo, for igual à 10 acontece o seguinte...

lim a → ∞ ⁡ e - a arctan ⁡ k + k a = lim a → ∞ ⁡ e - a arctan ⁡ 10 + 10 a = lim a → ∞ ⁡ e 8,528 a = + ∞

Já se k = - 5 ficamos com...

lim a → ∞ ⁡ e - a arctan ⁡ k + k a = lim a → ∞ ⁡ e - a arctan ⁡ - 5 - 5 a = lim a → ∞ ⁡ e - 3,626 a = - ∞

Ou seja! Por múltiplos caminhos podemos ver que os limites divergem e então não é possível escolher nenhum valor de a que satisfaça!

Resposta

x t = ∫ t 2020 e - a arctan ⁡ t a + t d t e - a arctan ⁡ t a + 1 + c 1 e - a arctan ⁡ t a + 1

N e n h u m   v a l o r   d e   a   v a i   s e r v i r   p a r a   q u e   x t → 0

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