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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

Equações Exatas e Quase Exatas

Determine a solução geral da equação

y d x + 2 x + 2 x y + e - 2 y d y = 0

Passo 1

Essa equação tem uma cara de equação exata, mas para dizer isso temos que verificar. A cara da equação exata é

P x . y d x + Q x , y d y = 0

Então temos

P x , y = y

E

Q x , y = 2 x + 2 x y + e - 2 y

Vamos usar o critério ode Euler e ver se ∂ P ∂ y é igual a ∂ Q ∂ x

∂ P ∂ y = 1

E

∂ Q ∂ x = 2 + 2 y

E acabamos de ver que esses caras são diferentes, então essa equação não é exata.

E agora? Vamos ver se ele tem algum fator integrante, para ver se essa equação é quase exata.

Passo 2

Vamos começar testando o que depende só de y , se não der certo vemos o outro

λ = e ∫ f y d y

Com

f y = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y P

Então vamos achar essa função f y

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 2 + 2 y - 1 = 1 + 2 y

E vamos ter

f y = 1 + 2 y y = 1 y + 2

Opa, nosso função f deu certinho, então essa EDO é quase exata, e podemos continuar resolvendo.

Vamos achar a integral no expoente para acharmos o fator integrante

∫ 1 y + 2 d y = ln ⁡ y + 2 y

O fator integrante vai ser

λ = e ln ⁡ y + 2 y = e ln ⁡ y e 2 y = y e 2 y

Então podemos pegar

λ = y e 2 y

Passo 3

A nossa nova equação vai ser encontrada multiplicando aquela do enunciado pelo fator integrante

y y e 2 y d x + 2 x + 2 x y + e - 2 y y e 2 y d y = 0

Arrumando isso

y 2 e 2 y d x + 2 x y e 2 y + 2 x y 2 e 2 y + y d y = 0

Vamos ter

P x , y = y 2 e 2 y

E

Q x , y = 2 x y e 2 y + 2 x y 2 e 2 y + y

A primeira coisa que fazemos é integrar Q em relação a y

φ x , y = ∫ Q x , y d y = ∫ 2 x y e 2 y + 2 x y 2 e 2 y + y d y

φ x , y = 2 x ∫ y e 2 y d y + 2 x ∫ y 2 e 2 y d y + ∫ y d y

Temos duas integrais para resolver ali que são um pouco mais complicadas.

Passo 4

Vamos começar com

∫ y 2 e 2 y d y

Vamos fazer por partes

u = y 2 → d u = 2 y d y

d v = e 2 y d y → v = e 2 y 2

∫ y 2 e 2 y d y = y 2 e 2 y 2 - ∫ e 2 y 2 2 y d y = y 2 e 2 y 2 - ∫ y e 2 y d y

Vamos para a outra integral que apareceu ali

∫ y e 2 y d y

u = y → d u = d y

d v = e 2 y d y → v = e 2 y 2

Vamos ter

∫ y e 2 y d y = y e 2 y 2 - ∫ e 2 y d y 2 = y e 2 y 2 - e 2 y 4

Voltando para a outra integral

∫ y 2 e 2 y d y = y 2 e 2 y 2 - ∫ e 2 y 2 2 y d y = y 2 e 2 y 2 - y e 2 y 2 + e 2 y 4

Passo 5

Vamos ter

φ x , y = 2 x y 2 e 2 y 2 - y e 2 y 2 + e 2 y 4 + 2 x y e 2 y 2 - e 2 y 4 + y 2 2 + k x

φ x , y = x y 2 e 2 y - x y e 2 y + x e 2 y 2 + x y e 2 y - x e 2 y 2 + y 2 2 + k x

φ x , y = x y 2 e 2 y + y 2 2 + k x

Passo 6

Agora vamos derivar φ em relação a x e comparar com P

∂ φ ∂ x = y 2 e 2 y + k ' x

E vamos ter

y 2 e 2 y + k ' x = y 2 e 2 y

E

k ' x = 0

Assim vamos ter

k x = C 1

Passo 7

A solução da nossa equação exata vai ser

φ x , y = C

Já temos a nossa função potencial, então

x y 2 e 2 y + y 2 2 + C 1 = C

Podemos juntar aquelas duas constantes

x y 2 e 2 y + y 2 2 = C

Resposta

x y 2 e 2 y + y 2 2 = C

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