UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 1 – Questão 25
Considere o problema de valor inicial
Qual o limite de quando tende a ?
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver?
Primeiro vamos trocar por :
E multiplicar tudo por :
Daí da nossa teoria temos:
E daí nossa função para ser expoente do fator integrante é:
aí substituindo temos:
Passo 2
E o fator integrante é:
Vou fazer a integral do expoente separadamente pra facilitar nossa vida:
Aqui usei a técnica de substituição simples chamando e , beleza?
Agora substituindo esse resultado na exponencial do fator integrante temos:
Beleza até aqui?
Passo 3
Agora a gente multiplica a equação toda por :
Agora temos uma equação exata! Saca só:
As derivadas mistas são iguais! Agora é só integrar:
E agora vamos derivar em relação a :
Daqui temos que
E a solução é :
Passo 4
E o problema de valor inicial nos diz que:
Daí:
Então nossa solução é:
E isolando :
Passo 5
E por fim, o limite de quando é:
Vamos aplicar a regra de L’hopital derivando em cima e embaixo de
Então nossa função fica independente de e o limite vai a :