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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 2b

Resolva as equações diferenciais:

b )   y ' - a y x = x + 1 x ,   a ≠ 0,1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

y ' - a y x = x + 1 x  

Você tasca o olho nessa equação e percebe que ela pode ser escrita como y ' + P x y = Q ( x )

E aí você logo lembra: Fator integrante! E é isso mesmo!

São duas as pistas que te ajudam a identificar que vamos usar esse método:

  • é que tem um y ali dando sopa!
  • Todos os coeficientes ou são constantes, ou dependem apenas de x !

Nosso fator integrando vai ser

μ = e ∫ P ( x ) d x

E a solução y

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Beleza? Agora é só identificar no nosso problema, integrar e #partiu achar solução!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa edo é

y ' - a y x = x + 1 x

Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = - a x ; Q x = x + 1 x

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e - a ∫ 1 x d x

Aí temos

μ = e - a ∫ 1 x d x = e - a ln ⁡ x = x - a

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução!

A solução y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . x - a = ∫ x - a . x + 1 x d x

Agora basta resolver!

y . x - a = ∫ x - a - 1 . ( x + 1 ) d x = ∫ x - a + x - a - 1 d x

Tudo bem até aqui? Agora é só integrar!

y . x - a = x - a + 1 - a + 1 + x - a - a + C

Aí nossa solução fica assim

y x = C x a + x 1 - a - 1 a

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = C x a + x 1 - a - 1 a

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