Encontre um fator integrante e resolva a equação diferencial
Passo 1
De cara ele já fala pra gente que vamos ter que utilizar um fator integrante para resolver essa equação. Para isso vamos primeiramente calcular e
Vamos procurar como fator integrante uma função só de
Assim o fator integrante será
Assim a nossa equação depois que multiplicamos pelo fator integrante será.
Agora basta resolver essa nova equação que será exata e onde teremos.
Passo 2
Calculando
Para calcularmos essa integral devemos calcular
Vamos utilizar integral por partes para resolver essas integrais. Lembrando a formula.
Na integral de vamos chamar e
Agora vamos utilizar o mesmo método para resolver chamando e .
Passo 3
Assim poderemos calcular a integral sem nenhum problema
Passo 4
Derivando o que obtivemos no passo 3 em relação a .
Passo 5
Agora temos que igualar o que encontramos no passo 4 com
Onde é uma constante real.
Passo 6
Como obtivemos somente uma constante não vamos ter nada para substituir no que encontramos no passo 4. Então nossa solução será
Como deve ser igual a uma constante podemos dizer
Chamando
Temos então a nossa solução.