UFPE, Cálculo 4, P1-2019.1, Questão 1c
Resolva as seguintes equações diferenciais, e problemas de valor inicial.
Passo 1
A primeira coisa que a gente tem que fazer é verificar o tipo de EDO que nós temos para resolvê-la:
Ela tem dx e dy separados, no formato , ta com cara de uma equação exata. Vamos verificar o critério pra saber se é exata ou não, Condição de Euler, que diz:
Vamos checar a condição na nossa equação:
Essa EDO não é exata porque:
Passo 2
Vamos usar o fator integrante pra dar um empurrãozinho e tornar essa EDO Exata, o primeiro candidato é:
Como a função só depende de x, vamos fazer:
E o fator integarnte vai ser:
Multiplicando o fator integrante na equação:
Agora nossa EDO é Exata!
Passo 3
Resolver a EDO exata. A solução é dada implicitamente por:
Como a gente vai achar esse ? Vamos integrar Ncom relação a :
Vamos considerar sendo uma constante.
Agora vamos derivar essa equação com relação a :
Passo 4
Comparar o obtido com o original:
Simplificando, encontramos:
Logo, a partir da solução original, temos:
Resposta
é solução da equação diferencial.