6. Considere a solução particular y(x) da equação x * (dy/dx) - 4y = x^6 * e^x tal que y(1) = 4 . Então, y(2) é:

Escolha uma:

a . 32 e ^ 4 + 64,00

b . 32 e^2 + 64,00

c . 16 e^2 + 64,00

d. 32e^2 + 128,00

e . 16 e^4 + 64,00

Passo 1

Vamos começar resolver essa equação linear de primeira ordem não-homogênea dividindo toda a EDO por x para ficar do jeitinho que a gente pode trabalhar com ela.

y ' ( x ) - 4 x y = x 5 e x

Sabemos então que p x = - 4 / x e q x = x 5 e x e com isso podemos resolver a nossa EDO.

Passo 2

Como já identificamos p ( x ) podemos usá-lo para achar μ ( x ) :

μ x = e ∫ - 4 x   d x = e - 4 ln ⁡ x = x - 4

Sabendo que:

y x = 1 μ x   μ x 0 y 0   +   ∫ x 0 x μ t q t d t

Então vamos ter:

y x = x 4 1 ⋅ 4 + ∫ 1 2 t - 4 t 5 e t   d t = x 4 4 + ∫ 1 2 t e t   d t

Resolvendo a integral:

∫ 1 2 t e t   d t = t ⋅ e t - ∫ 1 2 e t   d t = t ⋅ e t 2 1 - e 2 1 = 2 e 2 - e - e 2 + e = e 2

Ou seja:

y x = x 4 4 + e 2

Passo 3

Agora vamos achar o y ( 2 ) que o enunciado nos pede:

y 2 = 2 4 4 + e 2 = 64 + 16 e ²

Então a resposta é a letra c .

Resposta

c .   16 e ^ 2   +   64,00

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