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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

Resolva a equação diferencial homogênea d y d x   =   y   +   x x

( ) 2 l n ( x )   +   c

( ) l n ( x 3 )   +   c

( ) 2 l n ( x )   +   x 3 c

( )   x ( l n ( x )   +   c )

( )   l n ( x )   +   x c

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão está pedindo pra gente resolver a equação diferencial homogênea. Vamos começar simplificando um pouco a equação, assim:

  d y d x   =   y   +   x x = y x + 1

Percebe que dessa forma, a gente não consegue fazer a separação de variáveis, né

Agora, vamos colocar o termos y / x para o lado esquerdo para a nossa equção ficar com aquela carinha que a gente está mais acostumado.

d y d x - 1 x y = 1

Podemos, agora, usar o fator integrante. Para isso, a função tem que estar na forma:

d y d x + A x . y = B ( x )

No nosso caso, A x = - 1 / x e B x = 1 . Então, vamos integrar A ( x ) para podermos encontrar o nosso fator integrante:

∫ A x d x = ∫ - 1 x d x = - ln ⁡ | x |

Beleza, agora é só achar o nosso fator integrante I ( x ) da seguinte forma:

I x = e - ln ⁡ x = e ln ⁡ x - 1 = x - 1

Com o nosso fator integrante, agora precisamos da integral do produto B x . I ( x ) , da seguinte forma:

∫ B x . I ( x ) d x = ∫ 1 . x - 1 d x = ln ⁡ x

Maravilhaa! Agora já encontramos tudo do método do fator integrante. A solução é da forma:

y = 1 I x ∫ I x . B x d x + C

Como já temos todos esses fatores, agora é só substituir.

y x = 1 x - 1 ln ⁡ x + C

Nossa resposta então é:

y x = x ( ln ⁡ x + C )

Resposta

y x = x ( ln ⁡ x + C )

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