Equações Exatas e Quase Exatas
Determine a solução geral da equação
Sabendo que ela tem um fator integrante que só depende de
Passo 1
Essa equação tem uma cara de equação exata, mas para dizer isso temos que verificar. A cara da equação exata é
Então temos
E
Vamos usar o critério ode Euler e ver se é igual a
E
E acabamos de ver que esses caras são diferentes, então essa equação não é exata.
E agora? Repara que ele falou de fator integrante ali, ou seja, essa equação que ele deu é uma equação quase exata, e o fator integrante depende só de .
Passo 2
Vamos achar o fator integrante, como ele só depende de como foi dito no enunciado o nosso fator integrante vai ser
Com
Então vamos achar essa função
E vamos ter
Vamos achar a integral no expoente para acharmos o fator integrante
O fator integrante vai ser
Então podemos pegar
Passo 3
A nossa nova equação vai ser encontrada multiplicando aquela do enunciado pelo fator integrante
Arrumando isso
Vamos ter
E
A primeira coisa que fazemos é integrar em relação a
Passo 4
Agora vamos derivar em relação a e comparar com
E vamos ter
E
Assim vamos ter
Passo 5
A solução da nossa equação exata vai ser
Já temos a nossa função potencial, então