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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 6

Considere a equação diferencial y ' sin ⁡ x + y cos ⁡ x = 1 ,   x ∈ ( 0 , π ) . Se Y ( x ) é uma solução desta equação diferencial para a qual existe lim x → 0 ⁡ Y ( x )   então calcule o limite

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

y ' sin ⁡ x + y cos ⁡ x = 1

y ' + cos ⁡ x sin ⁡ x y = 1 sin ⁡ x

Você tasca o olho nessa equação e percebe que ela pode ser escrita como y ' + P x y = Q ( x )

E aí você logo lembra: Fator integrante! E é isso mesmo!

São duas as pistas que te ajudam a identificar que vamos usar esse método:

  • é que tem um y ali dando sopa!
  • Todos os coeficientes ou são constantes, ou dependem apenas de x !

Nosso fator integrando vai ser

μ = e ∫ P ( x ) d x

E a solução y

y �� = ∫ μ Q ( x ) d x

Beleza? Agora é só identificar no nosso problema, integrar e #partiu achar solução!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa edo é

y ' + cos ⁡ x sin ⁡ x y = 1 sin ⁡ x

Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = cos ⁡ x sin ⁡ x ; Q x = 1 sin ⁡ x

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ cos ⁡ x sin ⁡ x d x =

Para essa integral vamos chamar

u = sin ⁡ x

d u = cos ⁡ x d x

Aí temos

μ = e ∫ cos ⁡ x sin ⁡ x d x = e ∫ 1 u d u = e ln ⁡ u = sin ⁡ x

E agora voltando para x

μ = sin ⁡ x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução!

A solução y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . sin ⁡ x = ∫ sin ⁡ x . 1 sin ⁡ x d x = ∫ d x

Agora basta resolver!

Tudo bem até aqui? Agora é só integrar!

y . sin ⁡ x = x + C

Aí nossa solução fica assim

y x = x sin ⁡ x + C

Por facilidade, C = 0 .

Beleza?

Ufa! Estamos quase lá! Por fim queremos saber o limite

lim x → 0 ⁡ Y x

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x

Usando o limite fundamental

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Aí temos

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 sin ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ 1 lim x → 0 ⁡ 1 sin ⁡ x x = 1 1 = 1

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

1

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