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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo III, Listas de C3 - UERJ - Primeira Lista, Questão 1e

Achar a solução geral.

(e)   ( 1   +   t 2   ) y '   +   4   t   y   =   ( 1   +   t 2 ) - 2    

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a solução geral da equação:

( 1   +   t 2   ) y '   +   4   t   y   =   ( 1   +   t 2 ) - 2

Reescrevendo:

y '   +   4   t ( 1   +   t 2   ) y   =   ( 1   +   t 2 ) - 3

Para isso, vamos utilizar o método do fator integrante. Para uma equação diferencial do tipo:

y ' +   p ( t ) y   = q ( t )

Temos que a solução geral será dada por:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

Então, identificando

p ( t ) = 4   t ( 1   +   t 2   ) ;

q ( t ) = 1 ( 1   +   t 2   ) 3 .

Vamos calcular essas integrais e obter a solução geral. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a integral:

∫ p ( t ) d t = ∫ 4   t ( 1   +   t 2   )   d t = 4   l n   t

Utilizando a substituição simples u = 1 + t 2 e d u = 2 t , temos

∫ 4   t ( 1   +   t 2   )   d t = 2 ∫ d u u = 2   l n   u =   l n   ( 1 + t 2 ) 2

Então, temos que:

e ∫ p ( t ) d t = e   l n   ( 1 + t 2 ) 2 = ( 1 + t 2 ) 2

Assim, podemos resolver a segunda integral:

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = ∫ ( 1 + t 2 ) 2 1 ( 1 + t 2 ) 3 d t = ∫ 1 ( 1 + t 2 ) d t .

Essa integral já é tabelada, sendo:

∫ 1 ( 1 + t 2 ) d t = a r c t a n ( t ) .

Voltando,

∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t )   d t = a r c t a n ( t ) .

Passo 3

Agora vamos substituir esses resultados na solução geral:

y = e - ∫ p ( t ) d t ( ∫ e ∫ p ( t ) d t q ( t ) d t + C )

y = e - l n   ( 1 + t 2 ) 2 ( a r c t a n ( t ) + C )

Então, chegamos na seguinte solução geral:

y = 1 ( 1 + t 2 ) 2 ( a r c t a n ( t ) + C ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = 1 ( 1 + t 2 ) 2 ( a r c t a n ( t ) + C ) .

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