Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo λ = λ ( x ) ou λ = λ ( y ) que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integração e resolva a EDO.

18 .   e x d x + e x cot ⁡ y + 2 y csc ⁡ y d y = 0

Passo 1

Ele já nos fala que a ideia é resolver uma EDO exata, e a nossa EDO já aparece na forma de uma EDO exata. Ele também diz que a EDO não é exata, mas mesmo assim vamos conferir para treinar:

e x d x + e x cot ⁡ y + 2 y csc ⁡ y d y = 0

M x , y = e x

N x , y = e x cot ⁡ y + 2 y csc ⁡ y

Derivando parcialmente:

∂ M ∂ y = 0

∂ N ∂ x = e x cot ⁡ y

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x

Bom, como esperado, ela é não exata.

Passo 2

Vamos encontrar o fator integrante. Vamos tentar encontrar um fator integrante em função de y .

h y = ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M = e x cot ⁡ y e x = cot ⁡ y = cos ⁡ y sin ⁡ y

Sendo assim o fator integrante será.

λ y = e ∫ cos ⁡ y sin ⁡ y d y

Bom para resolver integral, teremos que fazer uma substituição simples. Chamando u = sin ⁡ y → d u = cos ⁡ y d y

e ∫ cos ⁡ y sin ⁡ y d y = e ∫ 1 u d u = e l n u = u

Lembre-se de que u = sin ⁡ y . Então:

λ y = sin ⁡ y

Passo 3

Vamos multiplicar a nossa EDO pelo fator integrante.

e x sin ⁡ y d x + sin ⁡ y e x cot ⁡ y + 2 y   csc ⁡ y d y = 0

e x sin ⁡ y d x + e x cos ⁡ y + 2 y d y = 0

Vamos conferir se a equação ficou exata.

∂ M ∂ y = e x cos ⁡ y

∂ N ∂ x = e x cos ⁡ y

A equação ficou exata mesmo então já podemos continuar a resolução como se fosse para uma EDO exata normal.

Passo 4

Integrando M ( x , y ) em relação a x

∫ M x , y d x = ∫ e x sin ⁡ y d x = e x sin ⁡ y + g ( y )

Passo 5

Derivando o que encontramos parcialmente com respeito a y :

∂ e x sin ⁡ y + g ( y ) ∂ y = e x cos ⁡ y + g ' y

Passo 6

Agora vamos comparar esse resultado com N x , y :

e x cos ⁡ y + g ' y = e x cos ⁡ y + 2 y

g ' y = 2 y

Integrando para descobrir g ( y ) :

g y = ∫ 2 y d y = y 2

Lembrando que nesse passo a gente não precisa considerar a constante de integração.

Passo 7

Lembre-se de que nesse método, a gente considera como solução a função u x , y = C e a nossa EDO seria o resultado de uma derivação implícita. Então nossa u ( x , y ) será:

e x sin ⁡ y + g y → e x sin ⁡ y + y 2

Como temos que u x , y = C :

e x sin ⁡ y + y 2 = C

Resposta

18 .   λ y = sin ⁡ y ;   e x sin ⁡ y + y 2 = C

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