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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

Mostre que a EDO

3 x + 2 y + y 2 d x + x + 4 x y + 5 y 2 d y = 0

não é exata, mas que se torna exata quando multiplicada pelo fator integrante

μ x , y = x + y ²

Determine, então, a solução geral da EDO.

Passo 1

Bom, bora lembrar o que é uma equação exata! Primeiro, ela tem que ter essa carinha aqui:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Além disso, ela precisa respeitar a seguinte condição:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Fica ligado que o cara que acompanha o d x tem que ser derivado com respeito a y , e o cara que acompanha o d y tem que ser derivado com respeito a x .

Passo 2

Legal, dá pra ver que nossa EDO respeita a primeira relação, mas vamos ver se ela respeita a segunda...

M x , y = 3 x + 2 y + y ² N ( x , y ) = x + 4 x y + 5 y ²

∂ M ∂ y = 2 + 2 y ∂ N ∂ x = 1 + 4 y

Deu pra ver que são diferentes, então a equação não é exata, tanto que o próprio enunciado diz que ela só é exata se for multiplicada por μ x , y = x + y ²   . Simbora multiplicar então!

x + y 2 3 x + 2 y + y 2 d x + x + 4 x y + 5 y 2 d y = 0

3 x 2 + 4 x y 2 + 2 x y + 2 y 3 + y 4 d x + x 2 + 4 x 2 y + 6 x y 2 + 4 x y 3 + 5 y 4 d y = 0

Logo, nossos novos M e N serão:

M x , y = 3 x 2 + 4 x y 2 + 2 x y + 2 y 3 + y 4   N x , y = x 2 + 4 x 2 y + 6 x y 2 + 4 x y 3 + 5 y 4

∂ M ∂ y = 8 x y + 2 x + 6 y 2 + 4 y 3 ∂ N ∂ x = 8 x y + 2 x + 6 y 2 + 4 y 3

Pronto! A nova EDO é exata!!!

Passo 3

Vamos em busca da solução geral. Para isso, precisamos integrar M ( x , y ) com respeito a x , considerando y como uma constante:

∫ ( 3 x 2 + 4 x y 2 + 2 x y + 2 y 3 + y 4 ) d x = x 3 + 2 x 2 y 2 + x 2 y + 2 x y 3 + x y 4 + g ( y )

Passo 4

Derivar o passo 3 com respeito a y :

∂ x 3 + 2 x 2 y 2 + x 2 y + 2 x y 3 + x y 4 + g y ∂ y = 4 x 2 y + x 2 + 6 x y 2 + 4 x y 3 + g ' ( y )

Comparar essa derivada com N ( x , y ) :

4 x 2 y + x 2 + 6 x y 2 + 4 x y 3 + g ' y = x 2 + 4 x 2 y + 6 x y 2 + 4 x y 3 + 5 y 4

g ' y = 5 y 4

Agora, tá faltando pouco!!! Vamos integrar o g ' ( y ) com respeito a y para encontrar g ( y ) . Não precisa da constante de integração!

∫ 5 y 4 d y = y 5

Passo 5

Finalmente, chegamos a solução do problema:

x 3 + 2 x 2 y 2 + x 2 y + 2 x y 3 + x y 4 + y 5 = K

Já que quando derivamos essa equação, ficamos com aquela EDO igualada a 0 ( K é uma constante!).

Resposta

x 3 + 2 x 2 y 2 + x 2 y + 2 x y 3 + x y 4 + y 5 = K

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