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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

Tarefa 3, Grau G1 - MAT 1154 Cálculo IV – PUCRIO – Questão 1

Considere o problema de valores iniciais:

x ˙ t + p t x ( t ) = g ( t ) x 0 = 1

1. Encontre um par de funções p ( t ) e g ( t ) tal que as soluções o PVI convergem para 0   conforme t tende ao infinito. I.e.

lim t → ∞ ⁡ x ( t ) = 0

2. Encontre um par de funções p ( t )   e g ( t ) tal que as soluções o PVI convergem para + ∞ conforme t tende ao infinito. I.e.,

lim t → ∞ ⁡ x ( t ) = + ∞

3. Em cada um dos itens acima, o que acontece se t → - ∞ ?

Passo 1

Vamos começar!

Bom! Temos uma equação na forma...

x ' + p t x = g ( t )

Passo 2

Para resolver ela, primeiro vamos encontrar a solução (não trivial, não zero) da EDO homogênea associado. No caso...

x ' + p t x = 0

d x h d t + p t x h = 0

Passo 3

Em seguida, pelo método de variação dos parâmetros, temos que fazer a seguinte substituição na equação não-homogênea, para encontrar a função desconhecida μ = μ ( t ) ...

x t = μ t x h ( t )

Fazendo isso, temos que...

x ' + p t x = 0

d d t μ t x h + p t ⋅ μ t x h = g ( t )

d μ d t x h + μ t d x h d t + p t ⋅ μ t x h = g ( t )

Dando uma organizada...

d μ d t x h + μ t d x h d t + p t ⋅ μ t x h = g ( t )

d μ d t x h + μ t d x h d t + p t x h ⏟ = 0 = g ( t )

Temos que...

d μ d t x h = g ( t )

d μ d t = g t x h ( t )

Integrando...

μ t = ∫ g t x h ( t ) d t

E então, a nossa solução x ( t ) vai ser dada por...

x t = ∫ g t x h ( t ) d t ⋅ x h ( t )

Passo 4

Tem outro jeito também de obter o μ ( t ) . E uma regrinha básica, que diz que se a gente tem uma equação no formato...

x ' + p t x = g ( t )

μ ( t ) será dado por...

μ t = e ∫ p t d t

E para obter a solução geral, é preciso usar a regrinha abaixo...

μ t ⋅ x ( t ) = ∫ μ t ⋅ g t d t

Não importa qual método usar, vai dar certo! Então, bora pro que realmente importa!

Passo 5

Feito a análise de como a gente vai proceder! Agora é a parte mais de boas! É só testar diferentes funções e ver quais se adequam ao que foi pedido no enunciado!

Por exemplo, para o primeiro item temos que encontrar um par de funções p ( t ) e g ( t ) tal que as soluções o PVI convergem para 0   conforme t tende ao infinito. I.e.

Bom! A nossa equação, a gente já sabe que tem a seguinte tela...

x ' + p t x = g ( t )

Bora testar p t = 2 e g t = e - t ...

x ' + 2 x = e - t

Calculando o fator integrante...

μ t = e ∫ p t d t

μ t = e ∫ 2 d t

μ t = e 2 t

Temos que...

μ t ⋅ x ( t ) = ∫ μ t ⋅ g t d t

e 2 t x ( t ) = ∫ e 2 t e - t d t

e 2 t x ( t ) = ∫ e t d t

e 2 t x t = e t + c 1

x t = 1 e t + c 1 e 2 t

Como x 0 = 1

x 0 = 1 e 0 + c 1 e 0 = 1

1 + c 1 = 1

c 1 = 0

Logo, a função fica assim...

x t = 1 e t

E então, calculando o limite...

lim t → ∞ ⁡ x ( t ) = ?

lim t → ∞ ⁡ 1 e t = 1 e ∞ = 0

Podemos ver que ele vai valer zero!

Passo 6

Em seguida, a gente tem que encontrar um par de funções p ( t )   e g ( t ) tal que as soluções o PVI convergem para + ∞ conforme t tende ao infinito. I.e.,

Bora testar p t = e t e g t = e 3 t ...

x ' + e t x = e 3 t

Calculando μ ( t ) ...

μ t = e ∫ p t d t

μ t = e ∫ e t d t

μ t = e e t

Temos que...

μ t ⋅ x ( t ) = ∫ μ t ⋅ g t d t

e e t x ( t ) = ∫ e e t e 3 t d t

e e t x ( t ) = ∫ e e t + 3 t d t

e e t x t = e 2 t + e t - 2 e t + e t - e e t + c 2

e e t x t = e 2 t ⋅ e e t - 2 e e t e t - 1 + c 2

x t = e 2 t - 2 e t - 1 + c 2 e e t

Como x 0 = 1 ...

x t = e 2 t - 2 e t - 1 + c 2 e e t

x 0 = e 0 - 2 e 0 - 1 + c 2 e e 0 = 1

c 2 = 0

Ficamos com...

x t = e 2 t - 2 e t - 1

Aplicando o limite com t → ∞ :

lim t → ∞ ⁡ x ( t ) = ?

lim t → ∞ ⁡ [ e 2 t - 2 e t - 1 ] = ∞

Temos que ele de fato vai tender pro infinito! Eta beleza!

Passo 7

Por último, vamos ver como se comportar as duas últimas funções anteriores quando t → - ∞ !

Para a primeira função, temos que...

lim t → - ∞ ⁡ 1 e t = 1 e - ∞ = ∞

Aí o limite dessa vez já vai tender pro infinito! Com a outra função acontece o seguinte...

lim t → - ∞ ⁡ [ e 2 t - 2 e t - 1 ] = e - ∞ - 2 e - ∞ - 1 = 2

Ou seja! O limite vai acabar tendendo pra dois!

Resposta

P a r a   x t = 1 e t ⇒ lim t → ∞ ⁡ 1 e t = 0     e   lim t → - ∞ ⁡ 1 e t = ∞

P a r a   x t = e 2 t - 2 e t - 1 ⇒ lim t → ∞ ⁡ e 2 t - 2 e t - 1 = ∞     e   lim t → - ∞ ⁡ e 2 t - 2 e t - 1 = 2

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