UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Listas da Prof. Thaís Dalbelo – Lista 1 – 6d
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos responder essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO de primeira ordem não homogênea e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Mas como a gente faz isso?
Bom, a nossa EDO tem essa cara aqui:
Certo? Sempre que a nossa equação tiver essa cara a nossa solução vai ser dada por:
Onde
Calma, vamos por partes. Comparando a nossa equação com a forma geral, temos:
O que nós vamos fazer é calcular a integral (sem adicionar a constante). A partir daí, calcular o que chamamos de fator integrante e jogar na nossa integral maior para encontrar a solução .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a integral:
Nosso fator integrante então vai ser:
Como a função exponencial é a inversa da função logarítmica, temos:
Passo 3
Agora vamos substituir tudo na fórmula da solução geral:
Aplicando a distributiva ali dentro dos parênteses, temos:
Podemos jogar a constante para fora da integral:
Vamos resolver essa integral separadamente pra ficar mais claro.
Passo 4
Temos um produto de duas funções no nosso integrando:
Então, vamos resolver usando o método da integração por partes, lembra dele? Ele tem a forma:
O nosso precisa ser fácil de derivar e o nosso fácil de integrar. Então vamos escolher:
Substituindo isso na integral, temos:
Resolvendo:
Beleza, agora vamos substituir esse resultado na nossa solução geral.
Passo 5
Substituindo em:
Temos:
Simplificando:
E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉