Encontre um fator integrante e resolva a equação dada

y   d x + 2 x y - e - 2 y d y = 0

Passo 1

Olha aí, tem cara de equação exata, mas não é exata.

Por que não? Porque

M x , y = y → ∂ M ∂ y = 1

N x , y = 2 x y - e - 2 y → ∂ N ∂ x = 2 y

e vemos que

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x

Assim, precisamos de fato de um fator integrante para resolver esta equação quase exata.

Passo 2

Vamos calcular assim:

h x = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N

h x = 1 - 2 y 2 x y - e - 2 y

Paaaara aí! Isso não é uma função só de x ...

Então vamos tentar o outro:

f y = ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M

f y = 2 y - 1 y = 2 - 1 y

Ahh agora sim – que alívio! =)

Passo 3

Beleza, então vamos encontrar o fator integrante agora:

I y = e ∫     f y d y

I y = e ∫     2 - 1 y d y

I y = e 2 y - l n ⁡ | y |

I y = e 2 y 1 y

E multiplicamos a equação toda por ele:

e 2 y 1 y . y   d x + e 2 y 1 y . 2 x y - e - 2 y d y = 0

e 2 y   d x + 2 x e 2 y - 1 y d y = 0

Passo 4

A nova equação é exata, aí fazemos o mesmo procedimento:

M x , y = e 2 y → ∂ M ∂ y = 2 e 2 y

N x , y = 2 x e 2 y - 1 y → ∂ N ∂ x = 2 e 2 y

Agora sim,

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 5

Vamos tomar primeiro a integral

∫     M x , y d x = ∫ e 2 y d x = x e 2 y + g y

E derivamos isso com relação a y :

∂ ∂ y x e 2 y + g y = 2 x e 2 y + g ' y

Passo 6

Igualando o obtido no passo 5 com N x , y :

2 x e 2 y - 1 y = 2 x e 2 y + g ' y

g ' y = - 1 y

Integrando para obtermos g y (sem acrescentar a constante):

∫ g ' y d y = ∫ - 1 y d y = - ln ⁡ y

Passo 7

Obtenha a função u x , y = ∫     M x , y d x :

u x , y = x e 2 y - ln ⁡ y

A solução é dada por u x , y = C :

x e 2 y - ln ⁡ y = C

Resposta

I y = e 2 y 1 y

x e 2 y - ln ⁡ y = C

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