Equações exatas e Quase Exatas
Determine a solução geral da equação
Passo 1
Pela forma que ele já colocou a EDO, fica intuitivo verificar se ela é exata ou não, sacou?
Identificar as variáveis(De acordo com o que aprendemos na teoria):
E então fazer o teste:
Então:
Opa, essa EDO não é exata.
Passo 2
Vamos ver agora se ela tem algum fator integrante.
E de acordo com a teoria devemos achar primeiro o possível fator integrante sendo uma função que depende só de :
Como é uma função que só depende de , o fator integrante que segue será válido:
Isso para , Então é só multiplicar a EDO por esse termo:
Passo 3
Agora temos uma EDO exata:
Identifique os termos:
Vamos ver:
E vemos que as derivadas são iguais, é realmente exata! Bem, vamos integrar com relação a :
Derivando esse cara com relação a :
Mas sabemos que isso tem que ser igual ao que encontramos na EDO:
Assim:
Mas sabemos que::
Separando:
Integrando de ambos lados:
Fazendo a substituição simples:
Voltando a substituição:
Subsituindo isso na função que achamos inicialmente:
Resposta
Onde