Nos exercícios a verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo ou que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integração e resolva a EDO.
Passo 1
Ele já nos fala que a ideia é resolver uma EDO exata, e a nossa EDO já aparece na forma de uma EDO exata. Ele também diz que a EDO não é exata, mas mesmo assim vamos conferir para treinar:
Derivando parcialmente:
Bom, como esperado, ela é não exata.
Passo 2
Vamos encontrar o fator integrante. Vamos tentar encontrar um fator integrante em função de .
Sendo assim o fator integrante será.
Passo 3
Vamos multiplicar a nossa EDO pelo fator integrante.
Vamos conferir se a equação ficou exata.
A equação ficou exata mesmo então já podemos continuar a resolução como se fosse para uma EDO exata normal.
Passo 4
Integrando em relação a
Passo 5
Derivando o que encontramos parcialmente com respeito a :
Passo 6
Agora vamos comparar esse resultado com
Integrando para descobrir :
Bom, para resolver essa integral, vamos ter que usar a integração por partes. Você lembra da fórmula?
Chamando
Lembrando que nesse passo a gente não precisa considerar a constante de integração.
Passo 7
Lembre-se de que nesse método, a gente considera como solução a função e a nossa EDO seria o resultado de uma derivação implícita. Então nossa será:
Como temos que :