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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 2i

Resolva as equações diferenciais:

i ) y ' + 1 - 2 x x 2 y - 1 = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

y ' + 1 - 2 x x 2 y - 1 = 0

y ' + 1 - 2 x x 2 y = 1

Você tasca o olho nessa equação e percebe que ela pode ser escrita como y ' + P x y = Q ( x )

E aí você logo lembra: Fator integrante! E é isso mesmo!

São duas as pistas que te ajudam a identificar que vamos usar esse método:

  • é que tem um y ali dando sopa!
  • Todos os coeficientes ou são constantes, ou dependem apenas de x !

Nosso fator integrando vai ser

μ = e ∫ P ( x ) d x

E a solução y

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Beleza? Agora é só identificar no nosso problema, integrar e #partiu achar solução!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa edo é

y ' + 1 - 2 x x 2 y = 1

Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = 1 - 2 x x 2 ; Q x = 1

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ 1 - 2 x x 2 d x = e ∫ x - 2 d x - 2 ∫ d x x

Aí temos

μ = e - 1 x - 2 ln ⁡ x = e - 1 x . e ln ⁡ x - 2

E agora por fim

μ = e - 1 x x 2

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução!

A solução y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . e - 1 x x 2 = ∫ e - 1 x x 2 . 1 d x

Agora basta resolver!

y . e - 1 x x 2 = ∫ e - 1 x 1 x 2 d x

Tudo bem até aqui? Agora é só integrar! Chamando u = - 1 x ,   d u = 1 x 2 d x

y . e - 1 x x 2 = e - 1 / x + C

Aí nossa solução fica assim

y x = x 2 1 + C e 1 x

Beleza?

Ufa! Estamos quase lá!

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = x 2 1 + C e 1 x

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