UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2017.2, Questão 2a
Considere a seguinte EDO:
Mostre que esta equação não é exata.
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Temos a seguinte equação diferencial ordinária
e precisamos verificar se esta é uma equação diferencial exata! Mas, quais são as condições? Uma equação diferencial exata pode ser escrita no formato
e, também deve obedecer a igualdade
Vamos checar as duas condições! Vem comigo!
Passo 2
Para verificar a primeira condição, vamos usar que , e portanto, podemos escrever
vamos multiplicar os dois lados por , de forma que temos
Se usarmos que e que , então a primeira condição é válida! Falta ainda verificar a segunda condição! Vamos lá!
Passo 3
Para a segunda condição precisamos calcular as derivadas parciais, vamos começar com
Derivadas parciais tomam como constantes toda variável que não está sendo derivada, portanto, temos simplesmente que
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial, que é da forma
como estamos derivando em , é tomado como constante, e sua derivada será zero. A derivada é então dada por
em que usei a regra do tombo. Saca só, temos que
Portanto, a equação diferencial não é exata! A primeira alternativa era isso! Te vejo jajá para a próxima!
Resposta
Ao longo dos passos!