Equações exatas e Quase Exatas
Encontre um fator de integrante e resolva a equação:
Passo 1
Bem, bem, quando a equação aparece com essa cara você já pensa em tentar ver se dá pra tratá-la como EDO exata ou quase exata, né? Então vamos lá:
Como deu diferente, vemos que ela não é uma EDO exata. Vamos usar Fator Integrante!
Passo 2
Vamos voltar pra nossa EDO do início:
Vamos multiplicar esse bagulho por um fator integrante que vai fazer a EDO ficar exata. Ou seja:
Será uma EDO exata. Isso quer dizer que:
Vamos aplicar a Regra da Cadeia nessa expressão:
Agrupando:
E aí você vai substituir as expressões de , e suas derivadas. No nosso caso, chegamos a:
Substituindo:
Vamos dividir tudo por :
Aí que vem o pulo do gato! Eu posso dizer que é uma função só de , aí . Assim:
E como é função só de , a derivada parcial vira uma derivada normal:
Então:
E substituindo na EDO original:
Então vamos lá, resolver esse cara (Se quiser, é bom verificar se a EDO ficou exata mesmo!)
Passo 3
Agora vem o paranauê do sabichão, se fosse resolver (E dá pra resolver assim!) iniciando
A gente vai cair na integral:
Dá pra resolver, é constante e sai da integral, você vai separá-la em 3 termos. O problema é que pra resolver por exemplo , pra você resolver isso vai ter que fazer duas integrações por partes, chamando inicialmente e , da pra fazer...mas isso seria muito cansativo. Olhando se você começar por
Sacou? Por isso é legal não decorar o procedimento, mas entender o que está sendo feito, assim você pode ir por outro caminho mais fácil!
Passo 4
Agora vamos derivar esse cara com relação a :
Mas sabemos do início que:
Igualando:
Daí achamos que:
OBS: Sim, sim, você pode falar que , mas de qualquer forma ele vai se juntar com , que é outra constante qualquer, e vai virar outra constante qualquer que eu vou continuar chamando de , sacou? Isso varia só com a condição inicial ou de contorno.
Assim ficou:
Finished!